Thèse soutenue

La relative hyperbolicité des produits semi-direct des produits libres

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Auteur / Autrice : Ruoyu Li
Direction : François Dahmani
Type : Thèse de doctorat
Discipline(s) : Mathématiques
Date : Soutenance le 17/10/2018
Etablissement(s) : Université Grenoble Alpes (ComUE)
Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Mathématiques, sciences et technologies de l'information, informatique (Grenoble ; 1995-....)
Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Institut Fourier (Grenoble)
Jury : Président / Présidente : Indira Lara Chatterji
Examinateurs / Examinatrices : Anne Parreau, Stefano Francaviglia
Rapporteurs / Rapporteuses : François Gautero

Mots clés

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Résumé

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Dans la thèse présente, nous nous intéressons à l'étude de la relative hyperbolicité des produits semi-direct des produits libres, ainsi que le problème de conjugaison pour certains automorphismes de ces produits libres.Plus précisement, pour un produit libre G=G1astdotsast Gpast Fk un automorphisme phi est intitulé atoroidal s'il ne fixe pas (ni aucune de ses puissances) la classe de conjugaison d'un élément hyperbolique de G. Cet automorphisme est appelé completement irréductible si le système de facteurs libres est le plus grand qui est fixé par toutes les puissances de cet automorphisme. Il est appelé toral si pour tous les i, il existe giin G tel que {rm ad}{gi}circ phi|{Gi} est identité sur le facteur libre Gi. Nous disons qu'il a la condition centrale si pour chaque i, il existe giin G conjugue phi(Gi) à Gi, et s'il existe un élément non trivial de Girtimes{{rm ad}{gi} circ phi|{Gi}} mathbb{Z} qui est central dans Girtimes{{rm ad}{gi} circ phi|{Gi}} mathbb{Z}.Nous prouvons, dans le Théorème 4.28, que si phi est atoroidal et completement irréductible, et si le produit libre est non-elementaire (kgeq 2 ou p+k geq 3), le groupe Grtimesphi mathbb{Z} est relativement hyperbolique (relativement a des suspensions de chaque Gi). Après, dans le Théorème 6.10, nous prouvons le même résultat si phi est atoroidal avec la condition centrale. Nous prouvons aussi dans le Théorème 7.21 que si tous les Gi sont abelien, le problème de conjugaison est solvable pour les automorphismes atoroidaux, toraux. Ces sont des analogues du résultat de Brinkmann [7] (celui qui a donné le résultat d'hyperbolicité pour les groupes libres), et du résultat de Dahmani [12] (celui qui a résolu le problème de conjugaison des automorphismes hyperboliques).