Interpolation liée et l’invariance des déformations en modélisation par éléments finis du continuum micropolaire

Linked interpolation and strain invariance in finite-element modelling of micropolar continuum

• Auteur / Autrice : Sara Grbčić
• Direction : Gordan Jelenić, Adnan Ibrahimbegovic
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mécanique Numérique : Unité de recherche en Mécanique - Laboratoire Roberval (FRE UTC - CNRS 2012)
• Date : Soutenance le 18/12/2018
• Etablissement(s) : Compiègne en cotutelle avec University of Rijeka
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Sciences pour l'ingénieur (Compiègne)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Unité de recherche en mécanique acoustique et matériaux / Laboratoire Roberval

Mots clés

Mots clés contrôlés

Flexion (mécanique)

Mouvement rotatoire

Micromécanique (ingénierie)

Microstructure (physique)

Déformations (mécanique)

Milieux continus, Mécanique des

Théories non linéaires

Modèles mathématiques

Méthode des éléments naturels

Éléments finis, Méthode des

Invariants

Interpolation (mathématiques)

Mots clés libres

Théorie micropolaire

Microrotation

Interpolation liée

Modes incompatibles

Non-linéarité géométriques

Invariance de déformation

Cosserat

Continuum micropolaire

Micropolar theory

Microrotation

Linked interpolation

Incompatible modes

Geometrical nonlinearity

Strain invariance

Finite element method

Mathematical models

Deformations

Résumé

Au cœur de cette thèse est une théorie de continuum alternatif connue comme la théorie micropolaire, qui est développée pour décrire des phénomènes lesquels on ne peut pas décrire en utilisant la théorie classique. Dans cette théorie, en complément du champ de déplacement, il existe aussi un autre champ indépendant, celui de microrotation, et afin de pouvoir décrire complètement un tel matériau, six paramètres des matériaux sont nécessaires. Dans le cadre de la modélisation par éléments finis, nouveaux éléments fondés sur la théorie micropolaire dans les régimes linéaire et géométriquement non linéaire sont développés. Dans le cadre de l'analyse linéaire, les problèmes bi- et tri-dimensionnels sont analysés. En 2D, les nouvelles familles des éléments triangulaires et quadrilatères sont développés avec l'interpolation liée des champs cinématiques. Ensuite, la forme faible est étendue aux 3D, et un élément fini hexaédrique du premier ordre, avec le champ de déplacement enrichi avec des modes incompatibles est dérivé. Il est constaté que l'interpolation liée et les modes incompatibles améliore la précision par rapport à la précision des éléments finis micropolaires conventionnels. Dans le part non-linéaire, les éléments de premier et deuxième ordre avec l'interpolation conventionnelle sont développés. Pour tester la performance des éléments présentés, une solution analytique non-linéaire de la flexion pure est dérivée. Il est observé que les éléments convergent vers la solution dérivée. Les éléments sont testés sur les autres exemples où la dépendance du sentier et l'invariance de déformation sont détectés. Une procédure pour résoudre ces anomalies est présentée.

At the core of this thesis is an alternative continuum theory called the micropolar (Cosserat) continuum theory, developed in order to describe the phenomena which the classical continuum theory is not able to describe. In this theory, in addition to the displacement field, there also exists an independent microrotation field and, in order to completely describe such a material, six material parameters are needed. In the framework of the finite-element method, new finite elements based on the micropolar continuum theory in both linear and geometrically non-linear analysis are developed using the displacement-based approach. In the linear analysis, both two- and three-dimensional set-ups are analysed. In 2D new families of triangular and quadrilateral finite elements with linked interpolation of the kinematic fields are derived. In order to assure convergence of the derived finite elements, they are modified using the Petrov-Galerkin approximation. Their performance is compared against existing conventional micropolar finite elements on a number of micropolar benchmark problems. It is observed that the linked interpolation shows enhanced accuracy in the bending test when compared against the conventional Lagrange micropolar finite element. Next, the weak formulation is extended to 3D and a first-order hexahedral finite element enhanced with the incompatible modes is derived. The element performance is assessed by comparing the numerical results against the available analytical solutions for various boundary value problems, which are shown to be significant for the experimental verification of the micropolar material parameters. It is concluded that the proposed element is highly suitable for the validation of the methodology to determine the micropolar material parameters. In the non-linear part, first- and second-order geometrically nonlinear hexahedral finite elements with Lagrange interpolation are derived. In order to test the performance of the presented finite elements, a pure-bending non-linear micropolar analytical solution is derived. It is observed that the elements converge to the derived solution. The elements are tested on three additional examples where the path-dependence and strain non-invariance phenomena are detected and assessed in the present context. A procedure to overcome the non-invariance anomaly is outlined.