Propriétés quantitative de récurrence en mesure infinie

Quantitative recurrence properties in infinite measure

• Auteur / Autrice : Nasab Yassine
• Direction : Françoise Pène, Benoît Saussol
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Soutenance le 15/11/2018
• Etablissement(s) : Brest
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Mathématiques et sciences et technologies de l'information et de la communication (Rennes)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Laboratoire de mathématiques de Bretagne Atlantique
• Jury : Président / Présidente : Sébastien Gouëzel
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Françoise Pène, Benoît Saussol, Sébastien Gouëzel, Mike Todd, Dalia Terhesiu, Sandro Vaienti, Roland Zweimüller, Barbara Schapira
• Jury : Rapporteur / Rapporteuse : Mike Todd, Dalia Terhesiu

Mots clés

Mots clés contrôlés

Suites récurrentes (mathématiques)

Systèmes dynamiques

Mots clés libres

Temps de retour

Récurrence quantitative

Théorème de Limite Locale

Flot Axiome A

Systèmes dynamiques

Sous-shift de type fini

Return time

Quantitative recurrence

Local Limit Theorem

Axiom A flow

Dynamical systems

Subshift of finite type

Résumé

Dans cette thèse, nous étudions les propriétés quantitatives de récurrence de certains systèmes dynamiques préservant une mesure infinie. Nous nous intéressons au premier temps de retour des orbites d'un système dynamique dans un petit voisinage de leurs points de départ. Tout d'abord, nous commençons par considérer un modèle jouet probabilistique pour éclairer la stratégie de nos preuves. On s'intéresse particulièrement au cas où la mesure est infinie, plus précisément, nous considérons les Z -extensions des sous-shift de type fini. Nous étudions le comportement asymptotique du premier temps de retour au voisinage de l'origine, et nous établissons des résultats de type de convergence presque partout, et aussi de convergence en loi par rapport à toute mesure de probabilité absolument continue par rapport à la mesure infinie. Dans ce travail, nous nous également intéressons à d'autres systèmes dynamiques. Nous considérons un flot Axiome A(gt)t sur une variété riemannienne M munie d'une mesure σ -finie μ. Nous supposerons que la mesure μ est une mesure d'équilibre pour (gt)t. Afin d'établir nos résultats, nous introduisons des notions de dynamique hyperbolique. En particulier, nous considérons la section de Markov qui a été introduite par Bowen et Ratner.

In this thesis, we study the quantitative recurrence properties of some dynamical systems preserving an infinite measure. We are interested in the first return time of the orbits of a dynamical system into a small neighborhood of their starting points. First, we start by considering a toy probabilistic model to clarify the strategy of our proofs. Our interest is when the measure is indeed infinite, more precisely we consider the Z-extensions of subshifts of finite type. We study the asymptotic behavior of the first return time near the origin, and we establish results of an almost everywhere convergence kind, and a convergence in distribution with respect to any probability measure absolutely continuous with respect to the infinite measure. In this work, we are also interested in another dynamicals systems. We consider an Axiom A flow (gt)t on a Riemannian manifold M endowed with a σ-finite measure μ. We will assume that the measure μ is an equilibrium measure for (gt)t. In order to establish our results, we introduce notions from hyperbolic dynamics. In particular, we consider the Markov section which was constructed by Bowen and Ratner.