Sur l’approximation et la complétude des translatés dans les espaces de fonctions

On the approximation and completeness of translates in function spaces

• Auteur / Autrice : Florian Le Manach
• Direction : Mohamed Zarrabi, Karim Kellay
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques pures
• Date : Soutenance le 22/11/2018
• Etablissement(s) : Bordeaux
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Mathématiques et informatique (Talence, Gironde ; 1991-....)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Institut de mathématiques de Bordeaux
• Jury : Président / Présidente : Sandrine Grellier
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Sandrine Grellier, Pascal Lefèvre, Pascal Thomas, Frédéric Bayart, Alexander Borichev
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Pascal Lefèvre, Pascal Thomas

Mots clés

Mots clés contrôlés

Espaces de Dirichlet

Ensembles de Cantor

Fourier, Transformations de

Espaces fonctionnels

Vecteurs cycliques

Mots clés libres

Cyclicité

Transformée de Fourier

Capacité

Ensembles de Cantor

Espaces de Dirichlet

Fonctions extérieures

Cyclicity

Fourier transform

Capacity

Cantor sets

Dirichlet spaces

Outer functions

Résumé

Nous nous intéressons à l'étude de la cyclicité et la bicyclicité dans les espaces ℓ^p(Z) à poids et à l'étude de la cyclicité dans les espaces de Dirichlet. Alors que Wiener a caractérisé la bicyclicité des vecteurs de ℓ¹(Z) et ℓ²(Z) grâce à l'ensemble des zéros de la transformée de Fourier, Lev et Olevski ont démontré que cet ensemble ne peut caractériser la bicyclicité dans ℓ^p(Z) lorsque 1≺p≺2 pour des suites u∈ℓ¹(Z). Beurling, Salem et Newman se sont aussi intéressés à la bicyclicité de vecteurs de ℓ^p(Z) pour 1≺p≺2. Dans ce travail, nous étendons tout d'abord les résultats de Beurling, Salem et Newman aux espaces ℓ^p(Z) à poids, en étudiant la dimension de Hausdorff et la capacité de l'ensemble des zéros de la transformée de Fourier. Ensuite nous démontrons que le résultat de Lev-Olevskii reste valide pour la cyclicité dans ℓ^p(Z), 1≺p≺2. De plus, nous donnons des conditions suffisantes à la cyclicité dans les espaces ℓ^p(Z) à poids. Enfin nous démontrons que, pour une fonction f appartenant à l'algèbre du disque et à un espace de type Dirichlet, si f est extérieure et si l'ensemble des zéros de f est réduit à un point alors f est cyclique. Ceci généralise le résultat de Hedenmalm et Shields qui ont traité le cas du Dirichlet classique.

We are interested in the study of cyclicity and bicyclicity in weighted ℓ^p(Z) spaces and the study of cyclicity in Dirichlet spaces. While Wiener characterized the bicyclicity in ℓ¹(Z) and ℓ²(Z), thanks to the zero set of the Fourier transform, Lev and Olevski have shown that this set cannot characterize bicyclicity in ℓ^p(Z) when 1≺p≺2 for sequences ℓ¹(Z). Also Beurling, Salem and Newman were interested in the bicyclicity in ℓ^p(Z) when 1≺p≺2. In this work, we first extend the results of Beurling, Salem and Newman to the weighted ℓ^p(Z) spaces, by studying the Hausdorff dimension and the capacity of the zero set of the Fourier transform. Then we prove that the Lev-Olevskii result remains valid for cyclicity in ℓ^p(Z), 1≺p≺2. In addition, we give sufficient conditions for the cyclicity in the weighted ℓ^p(Z) spaces. Finally, we prove that, for a function f in the disk algebra and in a generalized Dirichlet space, if f is outer and the zero set of f is reduced to a point then f is cyclic. This generalizes the result of Hedenmalm and Shields who have treated the case of the classical Dirichlet space.