Graphes d'isogénies, polynômes modulaires et applications

Isogeny graphs, modular polynomials, and applications

• Auteur / Autrice : Chloe Martindale
• Direction : Andreas Enge, Marco Streng
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques Pures
• Date : Soutenance le 14/06/2018
• Etablissement(s) : Bordeaux en cotutelle avec Universiteit Leiden (Leyde, Pays-Bas)
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Mathématiques et informatique (Talence, Gironde ; 1991-....)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Institut de mathématiques de Bordeaux - Institut national de recherche en informatique et en automatique (France). Centre de recherche Inria de l'université de Bordeaux (Bordeaux)
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Andreas Enge, Marco Streng, David R. Kohel, Dimitar Jetchev
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : David R. Kohel, Dimitar Jetchev

Mots clés

Mots clés contrôlés

Polynômes

Variétés abéliennes

Mots clés libres

Graphe

Isogénie

Polynômes modulaires

Graph

Isogeny

Modular polynomial

Résumé

Dans ma thèse j'etude les variétés abéliennes ordinaires définies avec multiplication réelle maximale. Je définis des polynômes modulaires dans ce situation et je donne un algorithme pour calculer sur les nombres complexes et pour les surfaces sur des corps finis. Je donne aussi un théorème de structure pour les graphs des isogénies dans ce contexte. Je donne une généralisation de Schoof-Elkies-Atkin aux courbes de genre 2 avec multiplication réelle maximale fixe en utilisant les polynômes modulaires.

My thesis looks at ordinary abelian varieties defined with maximal real multiplication. I define modular polynomials in this setting and give an algorithm to compute them over the complex numbers, and for surfaces over finite fields. I also give a structure theorem for isogeny graphs in this setting. I give a generalisation of Schoof-Elkies-Atkin to genus 2 curves with fixed maximal real multiplication using the modular polynomials.