Accouplements de Hauteur sur les 1-Motifs

Height Pairings of 1-Motives

• Auteur / Autrice : Carolina Rivera Arredondo
• Direction : Qing Liu, Luca Barbieri-Viale
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques Pures
• Date : Soutenance le 08/06/2018
• Etablissement(s) : Bordeaux en cotutelle avec Università degli studi (Milan, Italie)
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Mathématiques et informatique (Talence, Gironde ; 1991-....)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Institut de mathématiques de Bordeaux
• Jury : Président / Présidente : Bruno Chiarellotto
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Bruno Chiarellotto, Cristiana Bertolin, Stefano Vigni

Mots clés

Mots clés contrôlés

Variétés abéliennes

Motifs (mathématiques)

Mots clés libres

1-Motif

Accouplement

Hauteur

Biextension

1-Motive

Pairing

Height

Biextension

Résumé

L'objectif de ce travail est la généralisation, dans le contexte des 1-motifs, des accouplements de hauteurs construits par B. Mazur et J. Tate sur les variétés abéliennes. Suite à leur approche, nous considérons de ρ-splittings de la biextension de Poincaré d’un 1-motif et nous demandons qu'ils soient compatibles avec la linéarisation canonique associée à la biextension. Nous établissons donc des résultats concernant l'existence de tels ρ-splittings. Quand ρ est non-ramifié, celle-ci est garanti si l'accouplement de monodromie du 1-motif pris en considération est non-dégénéré. Pour ρ ramifié, le ρ-splitting se construit à partir d'une paire de scindages des filtrations de Hodge des réalisations de de Rham du 1-motif et de son dual. Ceci généralise des résultats précédents de R. Coleman and Y. Zarhin pour les variétés abéliennes. Ces ρ-splittings sont ensuite utilisés pour définir un accouplement global entre les points rationnels d'un 1-motif et de son dual. Également, nous fournissons des accouplements locaux entre les zéro-cycles et les diviseurs sur une variété, qui est fait en appliquant les résultats précédents à ses 1-motifs de Picard et d’Albanese.

The purpose of this work is to generalize, in the context of 1-motives, the height pairings constructed by B. Mazur and J. Tate on abelian varieties. Following their approach, we consider ρ-splittings of the Poincaré biextension of a 1-motive and require that they be compatible with the canonical linearization associated to the biextension. We establish results concerning the existence of such ρ-splittings. When ρ is unramified this is guaranteed if the monodromy pairing of the 1-motive considered is non-degenerate. For ramified ρ, the ρ-splitting is constructed from a pair of splittings of the Hodge filtrations of the de Rham realizations of the 1-motive and its dual. This generalizes previous results by R. Coleman and Y. Zarhin for abelian varieties. These ρ-splittings are then used to define a global pairing between rational points of a 1-motive and its dual. We also provide local pairings between zero cycles and divisors on a variety, which is done by applying the previous results to its Picard and Albanese 1-motives.