Inégalités d'Arakelov et familles semistable de courbes uniformisées par la boule

Arakelov inequalities and semistable families of curves uniformized by the unit ball

• Auteur / Autrice : Nikola Damjanovic
• Direction : Vincent Koziarz, Robin De‎ Jong, Bas Edixhoven
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques Pures
• Date : Soutenance le 14/06/2018
• Etablissement(s) : Bordeaux en cotutelle avec Universiteit Leiden (Leyde, Pays-Bas)
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Mathématiques et informatique (Talence, Gironde ; 1991-....)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Institut de mathématiques de Bordeaux
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Vincent Koziarz, Robin De‎ Jong, Bas Edixhoven, Xavier Roulleau, Richard A. Wentworth, Ben Moonen, Chris Peters, Mingmin Shen, Peter Stevenhagen
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Xavier Roulleau, Richard A. Wentworth

Mots clés

Mots clés contrôlés

Arakelov, Théorie d'

Mots clés libres

Revêtements cycliques

Familles de courbes semi-stables

Variations de structures de Hodge

Fibrés de Higgs

Quotients de la boule

Courbes de Teichmüller

Cyclic coverings

Semistable families of curves

Variations of Hodge structures

Higgs bundles

Ball quotients

Teichmüller curves

Résumé

L'objet principal de cette thèse est de démontrer une inégalité d'Arakelov qui consiste à borner le degré d'un sous-faisceau inversible de l'image directe d'un faisceau relatif pluricanonique d'une famille semi-stable de courbes. Un problème naturel qui apparaît est la caractérisation des familles pour lesquelles sont satisfaites le cas d'égalité dans l'inégalité d'Arakelov, i.e. le cas d'égalité d'Arakelov. Peu d'exemples de telles familles sont connus. Dans cette thèse nous en proposons plusieurs en prouvant que le faisceau relatif bicanonique d'une famille semi-stable de courbes uniformisée par la boule unité et dont toutes les fibres singulières sont totalement géodésiques contient un sous-faisceau inversible qui satisfait l'égalité d'Arakelov.

The main object of study in this thesis is an Arakelov inequality which bounds the degree of an invertible subsheaf of the direct image of the pluricanonical relative sheaf of a semistable family of curves. A natural problem that arises is the characterization of those families for which the equality is satisfied in that Arakelov inequality, i.e. the case of Arakelov equality. Few examples of such families are known. In this thesis we provide some examples by proving that the direct image of the bicanonical relative sheaf of a semistable family of curves uniformized by the unit ball, all whose singular fibers are totally geodesic, contains an invertible subsheaf which satisfies Arakelov equality.