Méthodes isogéométriques pour les équations aux dérivées partielles hyperboliques

Isogeometric methods for hyperbolic partial differential equations

• Auteur / Autrice : Asma Gdhami
• Direction : Régis Duvigneau, Maher Moakher
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Soutenance le 17/12/2018
• Etablissement(s) : Université Côte d'Azur (ComUE) en cotutelle avec Université de Tunis El Manar
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Sciences fondamentales et appliquées (Nice ; 2000-....)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Institut national de recherche en informatique et en automatique (France). Unité de recherche (Sophia Antipolis, Alpes-Maritimes) - Analysis and Control of Unsteady Models for Engineering Sciences
• Jury : Président / Présidente : Amel Ben Abda
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Amel Ben Abda, Christophe Chalons, Hassine Maatoug, Claire Scheid
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Christophe Chalons, Hassine Maatoug

Mots clés

Mots clés contrôlés

Moindres carrés

Ajustement de courbe

Bézier, Surfaces de

Splines, Théorie des

Analyse isogéométrique

Méthodes d'éléments finis mixtes

Hyperboles (mathématiques)

Mots clés libres

Problèmes hyperboliques

Méthode des éléments finis

Méthode de Galerkin discontinue

Analyse isogéométrique

Fonctions B-splines

Extraction de Bézier

Ajustement des courbes

Methode de moindres carrés

Hyperbolic problems

Finite element method

Discontinuous Galerkin method

Isogeometric analysis

B-spline functions

Bézier extraction

Curve fitting

Least squares method

Résumé

L’Analyse isogéométrique (AIG) est une méthode innovante de résolution numérique des équations différentielles, proposée à l’origine par Thomas Hughes, Austin Cottrell et Yuri Bazilevs en 2005. Cette technique de discrétisation est une généralisation de l’analyse par éléments finis classiques (AEF), conçue pour intégrer la conception assistée par ordinateur (CAO), afin de combler l’écart entre la description géométrique et l’analyse des problèmes d’ingénierie. Ceci est réalisé en utilisant des B-splines ou des B-splines rationnelles non uniformes (NURBS), pour la description des géométries ainsi que pour la représentation de champs de solutions inconnus.L’objet de cette thèse est d’étudier la méthode isogéométrique dans le contexte des problèmes hyperboliques en utilisant les fonctions B-splines comme fonctions de base. Nous proposons également une méthode combinant l’AIG avec la méthode de Galerkin discontinue (GD) pour résoudre les problèmes hyperboliques. Plus précisément, la méthodologie de GD est adoptée à travers les interfaces de patches, tandis que l’AIG traditionnelle est utilisée dans chaque patch. Notre méthode tire parti de la méthode de l’AIG et la méthode de GD.Les résultats numériques sont présentés jusqu’à l’ordre polynomial p= 4 à la fois pour une méthode deGalerkin continue et discontinue. Ces résultats numériques sont comparés pour un ensemble de problèmes de complexité croissante en 1D et 2D.

Isogeometric Analysis (IGA) is a modern strategy for numerical solution of partial differential equations, originally proposed by Thomas Hughes, Austin Cottrell and Yuri Bazilevs in 2005. This discretization technique is a generalization of classical finite element analysis (FEA), designed to integrate Computer Aided Design (CAD) and FEA, to close the gap between the geometrical description and the analysis of engineering problems. This is achieved by using B-splines or non-uniform rational B-splines (NURBS), for the description of geometries as well as for the representation of unknown solution fields.The purpose of this thesis is to study isogeometric methods in the context of hyperbolic problems usingB-splines as basis functions. We also propose a method that combines IGA with the discontinuous Galerkin(DG)method for solving hyperbolic problems. More precisely, DG methodology is adopted across the patchinterfaces, while the traditional IGA is employed within each patch. The proposed method takes advantageof both IGA and the DG method.Numerical results are presented up to polynomial order p= 4 both for a continuous and discontinuousGalerkin method. These numerical results are compared for a range of problems of increasing complexity,in 1D and 2D.