Sous-structures dans les graphes dirigés

Substructures in digraphs

• Auteur / Autrice : William Lochet
• Direction : Frédéric Havet, Stéphan Thomassé
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Informatique
• Date : Soutenance le 19/07/2018
• Etablissement(s) : Université Côte d'Azur (ComUE)
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Sciences et technologies de l'information et de la communication (Nice ; 1992-....)
• Partenaire(s) de recherche : établissement de préparation : Université de Nice (1965-2019)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Laboratoire Informatique, signaux et systèmes (Sophia Antipolis, Alpes-Maritimes) - Combinatorics, Optimization and Algorithms for Telecommunications
• Jury : Président / Présidente : Ioan Todinca
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Ioan Todinca, András Sebő, Victor Chepoi, Daniel Gonçalves
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : András Sebő, Bojan Mohar

Mots clés

Mots clés contrôlés

Entropie (théorie de l'information)

Théorie des graphes

Mots clés libres

Graphes dirigés

Compression d'entropie

Tournois

Digraphs

Entropy compression

Tournaments

Résumé

Le but principal de cette thèse est de présenter des conditions suffisantes pour garantir l'existence de subdivisions dans les graphes dirigés. Bien que ce genre de questions soit assez bien maitrisé dans le cas des graphes non orientés, très peu de résultats sont connus sur le sujet des graphes dirigés. La conjecture la plus célèbre du domaine est sans doute celle attribuée à Mader en 1985 qui dit qu'il existe une fonction f tel que tout graphe dirigé de degré sortant minimal supérieur à f(k) contient le tournoi transitif sur k sommets comme subdivision. Cette question est toujours ouverte pour k=5. Cette thèse présente quelques résultats intermédiaires tendant vers cette conjecture. Il y est d'abords question de montrer l'existence de subdivisions de graphes dirigés autre que les tournois, en particulier les arborescences entrantes. Il y a aussi la preuve que les graphes dirigés de grand degré sortant contiennent des immersions de grand tournois transitifs, question qui avait été posée en 2011 par DeVos et al. En regardant un autre paramètre, on montre aussi qu'un grand nombre chromatique permet de forcer des subdivisions de certains cycles orientés, ainsi que d'autre structures, pour des graphes dirigés fortement connexes. Cette thèse présente également la preuve de la conjecture de Erd\H{o}s-Sands-Sauer-Woodrow qui dit que les tournois dont les arcs peuvent être partitionnés en k graphes dirigés transitifs peuvent être dominé par un ensemble de sommet dont la taille dépend uniquement de k. Pour finir, cette thèse présente la preuve de deux résultats, un sur l'orientation des hypergraphes et l'autre sur la coloration AVD,utilisant la technique de compression d'entropie.

The main purpose of the thesis was to exhibit sufficient conditions on digraphs to find subdivisions of complex structures. While this type of question is pretty well understood in the case of (undirected) graphs, few things are known for the case of directed graphs (also called digraphs). The most notorious conjecture is probably the one due to Mader in 1985. He asked if there exists a function f such that every digraph with minimum outdegree at least f(k) contains a subdivision of the transitive tournament on k vertices. The conjecture is still wide open as even the existence of f(5) remains open. This thesis presents some weakening of this conjecture. Among other results, we prove that digraphs with large minimum outdegree contain large in-arborescences. We also prove that digraphs with large minimum outdegree contain large transitive tournaments as immersions, which was conjectured by DeVos et al. in 2011. Changing the parameter, we also prove that large chromatic number can force subdivision of cycles and other structures in strongly connected digraphs. This thesis also presents the proof of the Erd\H{o}s-Sands-Sauer-Woodrow conjecture that states that the domination number of tournaments whose arc set can be partitioned into k transitive digraphs only depends on k. The conjecture, asked in 1982, was still open for k=3. Finally this thesis presents proofs for two results, one about orientation of hypergraphs and the other about AVD colouring using the recently developed probabilistic technique of entropy compression.