Le problème de l’arbre couvrant de nombre d’étiquettes minimal et problèmes connexes

The Minimum Labeling Spanning Tree and Related Problems

• Auteur / Autrice : Thiago Gouveia da silva
• Direction : Philippe Michelon, Luiz Saturo Ochi
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Informatique
• Date : Soutenance le 31/10/2018
• Etablissement(s) : Avignon en cotutelle avec Universidade Federal do Estado do Rio de Janeiro (Brésil)
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Sciences et agrosciences (Avignon)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Laboratoire informatique d'Avignon
• Jury : Président / Présidente : Simone L. Martins
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Serigne Abdoulaye Gueye, Fábio Protti
• Jury : Rapporteur / Rapporteuse : Manoel Campêlo Neto, Lucídio Cabral

Mots clés

Mots clés contrôlés

Polyèdres

Métaheuristiques

Problème P=NP

Optimisation combinatoire

Théorie des graphes

Mots clés libres

Graphes à arêtes étiquetées

Arbre couvrant

Métaheuristiques

Polyèdres

Branch-and-bound

Grafo com arestas rotuladas

Árvore de cobertura

Meta-heurística

Combinatória poliédrica

Branch-and-bound

Edge-labeled graph

Spanning tree

Metaheuristic

Polyhedral Combinatorics

Branch-and-bound

Résumé

Soit L un ensemble fini d’éléments appelés étiquettes. On appelle graphe étiqueté simple, un graphe simple dans lequel à chaque arête est associée une étiquette prise dans L. Le problème de l’arbre couvrant de nombre d’étiquettes minimal (en anglais: the minimum labeling spanning tree problem, MLSTP) est un problème d’optimisation combinatoire consistant à trouver un arbre couvrant dans un graphe étiqueté simple en utilisant un nombre minimum d’étiquettes. Le problème est NP-dur. Il a fait l’objet d’un nombre important de recherche au cours des dernières années. L’une de ces directions de recherche a par ailleurs conduit à l’étude d’une généralisation du problème dite problème généralisée de l’arbre couvrant de nombre d’étiquettes minimal(en anglais: the generalized minimum labeling spanning tree problem, GMLSTP). Le problème GMLSTP modélise les situations dans lesquelles plusieurs étiquettes peuvent être assignées à un arête. Les deux problèmes ont plusieurs applications pratiques dans des domaines importants tels que la conception de réseaux informatiques, la conception de réseaux de transport multimodaux et la compression de données. Nous proposons dans cette thèse plusieurs résultats théoriques contribuant à l’implantation de nouveaux schémas de résolution pratique de ces problèmes. En particulier, sur le plan théorique, nous avons introduit de nouveaux concepts, définitions, propriétés et théorèmes utiles, ainsi qu’une étude polyédrale du domaine des points réalisables d’une nouvelle formulation de GMLSTP. Cette formulation et son analyse ont permi le développement d’algorithmes de branchement et de coupe (branch-and-cut) pour la résolution exacte des problèmes. De nouvelles heuristiques ont été également développées — telles que l’algorithme basé sur la métaheuristique MSLB, et l’heuristique constructive pMVCA. Des résultats d’expériences numériques sur des benchmarks du problème MLSTP sont données. Elles démontrent la qualité des approches proposées dans cette thèse puisque, aussi bien pour les approches exactes qu’approchées, nous obtenons, comparativement à l’état de l’art du domaine, les meilleurs résultats de la littérature.

O Problema da Árvore Geradora com Rotulação Mínima (MLSTP, do inglês minimum labelingspanning tree problem) é um problema de otimização combinatória que consiste em encontraruma árvore de cobertura em um grafo com arestas rotuladas, isto é, um grafo no qual cada arestapossui um rótulo associado, utilizando o menor número de rótulos. Este problema é NP-difícile tem atraído bastante atenção em pesquisas nos últimos anos. Por sua vez, o Problema Generalizado da Árvore Geradora com Rotulação Mínima (GMLSTP, do inglês generalized minimum labeling spanning tree problem) é uma generalização do MLSTP na qual se permite que múltiplos rótulos sejam associados a uma aresta. Ambos os problemas tem aplicações práticas em áreas importantes, como Projeto de Redes de Computadores, Projeto de Redes de Transporte Multimodais e Compactação de Dados. Esta tese aborda vários problemas de conectividade definidos em grafos com arestas rotuladas, em especial o Problema da Árvore Geradora com Rotulação Mínima e sua versão generalizada. As contribuições neste trabalho podem ser classificadas entre teóricas e práticas. Dentre as contribuições teóricas, introduzimos novos conceitos,definições, propriedades e teoremas úteis em relação a grafos com arestas rotuladas, bem como um estudo poliédrico sobre o GMLSTP. Dentre as contribuições práticas, propusemos novas heurísticas _ como o algoritmo baseado na metaheurística MSLB e a heurística construtiva pMVCA _ e métodos exatos _ como novas formulações matemáticas e algoritmos branch- and-cut _ para resolver o GMLSTP. Os experimentos computacionais realizados utilizando conjuntos de instâncias bem estabelecidos para o MLSTP são relatados, mostrando que as novas abordagens introduzidas neste trabalho alcançaram os melhores resultados para métodosheurísticos e exatos em comparação com estado da arte da literatura.

The minimum labeling spanning tree problem (MLSTP) is a combinatorial optimization problem that consists in finding a spanning tree in a simple edge-labeled graph, i.e., a graph inwhich each edge has one label associated, by using a minimum number of labels. It is anNP-hard problem that has attracted substantial research attention in recent years. In its turn,the generalized minimum labeling spanning tree problem (GMLSTP) is a generalization of theMLSTP that allows the situation in which multiple labels can be assigned to an edge. Bothproblems have several practical applications in important areas such as computer network design, multimodal transportation network design, and data compression. This thesis addressesseveral connectivity problems defined over edge-labeled graphs, in special the minimum labeling spanning tree problem and its generalized version. The contributions in this work can beclassified between theoretical and practical. On the theoretical side, we have introduced newuseful concepts, definitions, properties and theorems regarding edge-labeled graphs, as well asa polyhedral study on the GMLSTP. On the practical side, we have proposed new heuristics— such as the metaheuristic-based algorithm MSLB, and the constructive heuristic pMVCA —and exact methods — such as new mathematical formulations and branch-and-cut algorithms —for solving the GMLSTP. Computational experiments over well established benchmarks for theMLSTP are reported, showing that the new approaches introduced in this work have achievedthe best results for both heuristic and exact methods in comparison with the state-of-the-artmethods in the literature.