Modélisation et analyse de systèmes d'équations de Schrödinger non linéaires

Modeling and analysis of systems of nonlinear Schrödinger equations

• Auteur / Autrice : Edes Destyl
• Direction : Pascal Poullet, Paul Silvère Nuiro
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Soutenance le 28/09/2018
• Etablissement(s) : Antilles
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Milieu insulaire tropical à risques : protection, valorisation , santé et développement (Pointe-à-Pitre)
• Jury : Président / Présidente : Anne de Bouard
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Pascal Poullet, Paul Silvère Nuiro, Anne de Bouard, Olivier Goubet, Catherine Sulem, Thierry Collin, Alain Piétrus
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Olivier Goubet, Catherine Sulem

Mots clés

Mots clés contrôlés

Modèles mathématiques

Mots clés libres

Equation de Schrödinger non linéaire

PT-Symétrie

Existence globale

Explosionen temps fini

Chaine de pendules couplés

Stabilité

Nonlinéar Schrödinger equation

PT-Symétry

Global existence

Blowup in finite time

Chain of coupled pendula

Stability

Résumé

Les travaux de cette thèse portent sur la modélisation et l’étude numérique dessystèmes couplés de deux équations de Schrödinger non linéaires. Dans un premiertemps, nous considérons un système de deux équations de Schrödinger non linéairesPT −symétrique qui modélise des phénomèmes de fibre optique biréfringent. Lecomportement de la solution est étudié dans certains espaces comme l’espace de SobolevH1. De plus, l’étude numérique du modèle est faite afin de valider les résultatsanalytiques et, montre clairement le comportement qualitatif de la solution dansles espaces choisis. Pour ce même modèle en dimension supérieure, des conditionssuffisantes sont établies pour que la solution explose en temps fini pour certainesnon linéarités et pour le cas général de la non linéarité focalisante, nous faisonsl’étude numérique du modéle et nous présentons certains cas d’explosion de la solutionen temps fini et aussi des solutions du modèle qui existent tout le temps.D’autre part, nous adressons un nouveau modèle d’équations discrètes de Schrödingernon linéaires PT -symétrique. Un tel modèle décrit la dynamique d’une chaînede pendules faiblement couplés près d’une résonance entre une force paramétriqueet la fréquence linéaire des pendules. En vue d’étudier la stabilité des pendules, desconditions suffisantes ont été établies sur les paramètres du modèle pour que la solutiond’équilibre zéro soit linéairement et non linéairement stable. Des expériencesnumériques sont présentées pour valider les résultats analytiques et pour caractériserla déstabilisation de la chaîne de pendules couplés dans la région d’instabilité.

The works of this thesis concern the modeling and the numerical study of thesystems of two coupled nonlinear Schrödinger equations. At first, we considered aparity-time-symmetric system of the two coupled nonlinear Schrödinger (NLS) equationsthat modeled phenomenons in birefringent nonlinear optical fiber. We studythe behavior of the solution in some spaces like the Sobolev space H1. And we studythe numerical aspect of the model which clearly shows the behavior of the solutionin the chosen space. For the same model in higher dimension, we establish sufficientconditions for the initial conditions to blow up in finite time for some nonlinearityand for others we do the numerical study of the model and we present some casesof blowing up of the solution in finite time and also of the solutions of the modelthat exist all the time. On the other hand, we address a new model of discrete nonlinearSchrödinger equations PT -symmetric. A such model describes dynamics inthe chain of weakly coupled pendula pairs near the resonance between the parametricallydriven force and the linear frequency of each pendulum. In order to studythe stability of the pendulums, we establish sufficient conditions on the parametersof the model so that the equilibrium solution is stable. Numerical experiments arepresented to validate the analytical results and to characterize the unstabilizationof the coupled pendulum chain in the region of instability.