Sur la métastabilité de la dynamique de Glauber

On the metastability of the Glauber dynamics

• Auteur / Autrice : Paolo Milanesi
• Direction : Pierre Picco, Alexandre Gaudillière
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Soutenance le 07/12/2018
• Etablissement(s) : Aix-Marseille
• Ecole(s) doctorale(s) : Ecole doctorale Mathématiques et Informatique de Marseille (Marseille ; 1994-....)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Institut de mathématiques de Marseille (I2M)
• Jury : Président / Présidente : Thierry Bodineau
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Alexandre Gaudillière, Thierry Bodineau, Francesca Romana Nardi, Alessandra Faggionato, Ellen Saada
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Cristina Toninelli

Mots clés

Mots clés contrôlés

Markov, Processus de

Ising, Modèle d'

Dynamique de Glauber

Mots clés libres

Ising

Glauber

Métastabilité

Ising

Glauber

Metastability

Résumé

Dans cette thèse on étudie le comportement métastable de la dynamique de Glauber pour le modèle d'Ising en dimension deux, dans le régime où la température est fixée à une valeur sous critique et le champ magnétique extérieur est très petit. En volume infini, ce modèle a été étudié par Schonmann et Shlosman qui montrent le lien existant entre le temps moyen de transition et la tension de surface intégrée de la forme de Wulff. Cependant, l'exponentialité du temps de transition, déjà en volume fini, reste un problème ouvert. Dans cette thèse on adresse cette question. On donne d'abord un cadre théorique pour traiter ces dynamiques markoviennes métastable pour lesquelles le support de la mesure métastable n'est pas réductible à une seule configuration. Nos techniques permettent d'obtenir la loi exponentielle du temps de transition ainsi que d'estimer sa moyenne et le temps de relaxation de la dynamique. Dans la deuxième partie de notre travail on s'adresse à la dynamique de Glauber métastable; on donne les bonnes définitions des ensemble métastable et stable et on estime les temps de relaxation des dynamiques restreintes à ces deux ensembles. Cela nous permet de mettre en œuvre les techniques étudiées dans la première partie du travail. Nos résultats sont vrais pour toute température sous critique et pour une grande classe de mesure de départ

In this thesis we study the metastable behavior of the Glauber dynamics for the two-dimensional Ising model in the regime where the temperature is kept fixed at some subcritical value and the external magnetic field is vanishing.In the infinite volume regime, this model has been studied by Schonmann and Shlosman who show the connection between the mean transition time and the integrated surface tension of the Wulff shape. However, the exponentiality of the transition time, already in the finite volume case, is still an open problem. In this thesis we address this question.First, we give a theoretical framework to deal with metastable markovian dynamics such that the support of the metastable measure is not reducible to a single configuration. Our techniques allow to get the exponential law of the transition time as well as to estimate its mean and the relaxation time of the dynamics. In the second part of the thesis we address the metastable Glauber dynamics; we give suitable definitions of the metastable and the stable sets and we estimate the relaxation time of the dynamics restricted to these two sets. In doing so, we are in good shape to exploit the techniques studied in the first part of our work. Our results hold true for any subcritical temperature and a wide class of starting measures