Un théorème de Gallagher pour la fonction de Möbius
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Auteur / Autrice : | Mohamed Haye Betah |
Direction : | Olivier Ramaré, Mohamed Abdallahi Ould Beddi |
Type : | Thèse de doctorat |
Discipline(s) : | Mathématiques |
Date : | Soutenance le 29/11/2018 |
Etablissement(s) : | Aix-Marseille en cotutelle avec Université de Nouakchott |
Ecole(s) doctorale(s) : | École doctorale Mathématiques et Informatique de Marseille (Marseille ; 1994-....) |
Partenaire(s) de recherche : | Laboratoire : Institut de mathématiques de Luminy (Marseille) |
Jury : | Président / Présidente : Ahmedou Haouba |
Examinateurs / Examinatrices : Anne-Gwénaëlle de Roton, Julien Cassaigne, Bruno Martin | |
Rapporteurs / Rapporteuses : Jean-Marc Deshouillers |
Mots clés
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Résumé
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La fonction de Möbius est définie par μ(n)= { 1{si n=1} \\ (-1)^k{si n est le produit de k nombres premiers distincts} \\ 0{si n contient un facteur carré} }. Nous avons démontré que pour x≥exp(10⁹) et h=x^{1−{1/16000}}, il existe dans chaque intervalle [x-h,x] des entiers n₁ avec μ(n₁)=1 et des entiers n₂ avec μ(n₂)=-1. Ce résultat est une conséquence d'un résultat plus général. Pour x≥exp(4x10⁶), 1/(√(logx))≤θ≤1/2000, h=x^{1−θ} et Q=(x/h)^{1/20} nous avons ∑_{q≤Q} log(Q/q) | ^∗∑_{χmodq} ∣ ∑_{x.−h≤n≤x} μ(n)χ(n) ∣ ≤ 10²⁰ hθ log(x) exp(−1/300θ); la somme ∑* portant sur les caractères primitifs sauf l'éventuel caractère exceptionnel. Et en particulier pour x≥exp(10⁹),∣ ∑_{x−.x^{1−1/16000}≤n≤x} μ(n) ∣ ≤ 1/100x^{1−1/16000}.