Autour des représentations distinguées : la conjecture d'injectivité généralisée et modèles symplectiques pour les groupes unitaires

Distinguished representations : the generalized injectivity conjecture and symplectic models for unitary groups

• Auteur / Autrice : Sarah Dijols
• Direction : Volker Heiermann
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques et informatique
• Date : Soutenance le 06/07/2018
• Etablissement(s) : Aix-Marseille
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Mathématiques et Informatique de Marseille (Marseille ; 1994-....)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Institut de mathématiques de Marseille (I2M)
• Jury : Président / Présidente : Anne Pichon
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Raphaël Beuzart-Plessis, Jean-François Dat, Pascale Harinck, Pierre-Henri Chaudouard, Vincent Sécherre
• Jury : Rapporteur / Rapporteuse : Marko Tadic, Omer Offen

Mots clés

Mots clés contrôlés

Groupes de Weyl

Lie, Algèbres de

Groupes unitaires

Mots clés libres

Conjecture d'injectivité généralisée

Modèles symplectiques

Modèles de Whittaker

Generalized Injectivity Conjecture

Symplectic models

Whittaker models

Résumé

Soit G un groupe connexe quasi-déployé défini sur un corps non-Archimédien de caractéristique nulle. On suppose que l'on se donne un sous-groupe parabolique standard de décomposition de Levi P=MU ainsi qu'une représentation irréductible tempérée τ de M. Soit ν un élement dans le dual de l'algèbre de Lie de la composante déployée de M; on le choisit dans la chambre de Weyl positive. La représentation induite I_P^G(τν) est appelée module standard. Quand la représentation τ est générique (pour un caractère non-dégénéré de U), i.e a un modèle de Whittaker, le module standard I_P^G(τν) est également générique.Casselman et Shahidi ont conjecturé que l'unique sous-quotient générique apparaissait nécessairement comme sous-représentation dans le module standard I_P^G(τν). Ceci a été démontrée dans le cas des groupes classiques SO(2n+1), Sp(2n), et SO(2n) quand P est un sous-groupe parabolique maximal de G, par Hanzer en 2010.Dans notre travail, nous formulons et étudions ce problème dans le contexte plus général d'un groupe connexe quasi-déployé tel que les composantes irréductibles de ∑σ sont de type A,B,C ou D.Dans la deuxième partie de cette thèse (en commun avec D.Prasad), nous prouvons d'abord qu'il n'existe pas de representation cuspidale du groupe quasi-déployé U₂ₙ(F) qui soit distinguée par son sous-groupe Sp₂ₙ(F) pour F un corps local non-Archimédien. Nous prouvons ensuite le théorème équivalent pour un corps global: il n'existe pas de représentation cuspidale de U₂ₙ(Ak) qui ait une période symplectique non nulle pour k un corps de nombres ou corps de fonctions.

Let G be a quasi-split connected reductive group over a non-Archimedean local field F of characteristic zero. We assume we are given a standard parabolic subgroup P with Levi decomposition P=MU as well as an irreducible, tempered representation τ of M. Let now ν be an element in the dual of the real Lie algebra of the split component of M; we take it in the positive Weyl chamber. The induced representation I_P^G(τν) is called a standard module. When the representation τ is generic (for a non-degenerate character of U), i.e. has a Whittaker model, the standard module I_P^G(τν) is also generic. Casselman and Shahidi have conjectured that the unique irreducible generic subquotient of a standard module I_P^G(τν) is necessarily a subrepresentation. This conjecture known as the Generalized Injectivity Conjecture was proved for the classical groups SO(2n+1), Sp(2n), and SO(2n) for P a maximal parabolic subgroup, by Hanzer in 2010.In our work, we formulate and study this problem for any quasi-split connected reductive group such that the irreducible components of ∑σ are of type A,B,C or D. In the second part of this thesis (joint work with D.Prasad), we prove that there are no cuspidal representations of the quasi-split unitary groups U₂ₙ(F) distinguished by Sp₂ₙ(F) for F a non-archimedean local field. We also prove the corresponding global theorem that there are no cuspidal representations of U₂ₙ(Ak) with nonzero period integral on Sp₂ₙ(k)\Sp₂ₙ(Ak) for k any number field or a function field.