Sur le motif intérieur de certaines variétés de Shimura : le cas des variétés de Picard

On the interior motive of certain Shimura varieties : the case of Picard varieties

• Auteur / Autrice : Guillaume Cloitre
• Direction : Jörg Wildeshaus
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Soutenance le 26/06/2017
• Etablissement(s) : Sorbonne Paris Cité
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Galilée (Villetaneuse, Seine-Saint-Denis)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Laboratoire Analyse, géométrie et applications (LAGA) (Villetaneuse, Seine-Saint-Denis)
• Jury : Président / Présidente : Farid Mokrane
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Bruno Klingler, Frédéric Déglise

Mots clés

Mots clés contrôlés

Variétés abéliennes

Shimura, Variétés de

Mots clés libres

Variété de Picard

Motif intérieur

Motif bord

Picard variety

Interior motive

Boundary motive

Résumé

Les variétés de Picard sont des variétés de Shimura associées au groupe des similitudes unitaires d'un espace hermitien de dimension 3 sur un corps CM. Elles paramétrisent les classes d'isomorphismes de variétés abdéliennes munies de certaines structures supplémentaires. En particulier, il existe une variété abdélienne universelle sur une variété de Picard et plus généralement des familles de Kuga-Sato.A ces variétés sont attachés des groupes de cohomologie. L'un des intérêts de telles variétés est qu'il est possible de trouver des représentations automorphes dans les groupes de cohomologie qui lui sont attachés, en particulier dans les groupes de cohomologie intérieure. Selon le programme de Langlands, ces représentations correspondent conjecturalement à des motifs. Le résultat principal de cette thèse est la construction de facteurs directs du motif intérieur de certaines familles de Kuga-Sato sur des variétés de Picard, c'est-a-dire d'un analogue motivique de la cohomologie intérieure. Cela passe par une étude détaillée des poids du motif bord de ces familles. On en déduit l'existence de motifs associés à certaines représentations automorphes.

Picard varieties are Shimura varieties associated to the group of unitary similitudes of an hermitian space of dimension 3 over a CM eld. They parametrize isomorphism classes of abelian varieties with some additional data. In particular, there exists a universal abelian variety over a Picard variety and more generally Kuga-Sato families. Cohomology groups are attached to these varieties. Automorphic representations can be found in cohomology groups, more precisely in interior cohomology groups. Following Langlands' program, these representations correspond conjecturally to motives. The main result of this thesis is the construction of direct factors of the interior motive of certain Kuga-Sato families over a Picard variety, meaning a motivic analogue of interior cohomology. To prove this, we study the weights of the boundary motive of such families. We deduce from this the existence of a motive associated to certain automorphic representations.