Cauchy problem for the incompressible Navier-Stokes equation with an external force and Gevrey smoothing effect for the Prandtl equation

par Di Wu

Thèse de doctorat en Mathématiques

Sous la direction de Isabelle Gallagher et de Chao-Jiang Xu.

Le président du jury était Hajer Bahouri.

Le jury était composé de Isabelle Gallagher, Chao-Jiang Xu, Hajer Bahouri, Didier Bresch, Zhifei Zhang, Shuangjie Peng, Huijiang Zhao, Hua Chen.

Les rapporteurs étaient Didier Bresch, Zhifei Zhang.

  • Titre traduit

    Problème de Cauchy pour les équations de Navier-Stokes en présence d'une force extérieure et l'effet régularisant Gevrey de l'équation de Prandtl


  • Résumé

    Dans cette thèse on étudie des équations de la mécanique des fluides. On considère deux modèles : les équations de Navier-Stokes équation dans R3 en présence d'une force extérieure, et l'équation de Prandtl dans le demi plan. Pour le système de Navier-Stokes, on s'intéresse à l'existence locale en temps, l'unicité, le comportement global en temps et des critères d'explosion. Pour l'équation de Prandtl dans le demi plan, on s'intéresse à la régularité Gevrey. Le manuscrit est constitué de quatre chapitres. Dans le premier chapitre, on introduit quelques concepts de base sur les équations de la mécanique des fluides et on rappelle le sens physique des deux modèles précédents ainsi que quelques résultats mathématiques. Ensuite on énonce brièvement nos principaux résultats et les motivations. Enfin on mentionne quelques problèmes ouverts. Le second chapitre est consacré au problème de Cauchy pour les équations de Navier-Stokes dans R3 en présence d'une petite force extérieure, peu régulière. On démontre l'existence locale en temps pour ce système pour toute donnée initiale appartenant à un espace de Besov critique avec régularité négative. On obtient de plus trois résultats d'unicité pour ces solutions. Enfin on étudie le comportement en temps grand et la stabilité de solutions a priori globales. Le troisième chapitre traite d'un critère d'explosion pour les équations de Navier-Stokes avec une force extérieure indépendante du temps. On met en place une décomposition en profils pour les équations de Navier-Stokes forcées. Cette décomposition permet de faire un lien entre les équations forcées et non forcées, ce qui permet de traduire une information d'explosion de la solution non forcée vers la solution forcée. Dans le Chapitre 4 on étudie l'effet régularisant Gevrey de la solution locale en temps de l'équation de Prandtl dans le demi plan. Il est bien connu que l'équation de couche limite de Prandtl est instable pour des données initiales générales, et bien posée dans des espaces de Sobolev pour des données initiales monotones. Sous une hypothèse de monotonie de la vitesse tangentielle du flot, on démontre la régularité Gevrey pour la solution de l'équation de Prandtl dans le demi plan pour des données initiales dans un espace de Sobolev.


  • Résumé

    This thesis deals with equations of fluid dynamics. We consider the following two models: one is the Navier-Stokes equation in R3 with an external force, the other one is the Prandtl equation on the half plane. For the Navier-Stokes system, we focus on the local in time existence, uniqueness, long-time behavior and blowup criterion. For the Prandtl equation on the half-plane, we consider the Gevrey regularity. This thesis consists in four chapters. In the first chapter, we introduce some background on equations of fluid dynamics and recall the physical meaning of the above two models as well as some well-known mathematical results. Next, we state our main results and motivations briefly. At last we mention some open problems. The second chapter is devoted to the Cauchy problem for the Navier-Stokes equation equipped with a small rough external force in R3. We show the local in time existence for this system for any initial data belonging to a critical Besov space with negative regularity. Moreover we obtain three kinds of uniqueness results for the above solutions. Finally, we study the long-time behavior and stability of priori global solutions.The third chapter deals with a blow-up criterion for the Navier-Stokes equation with a time independent external force. We develop a profile decomposition for the forced Navier-Stokes equation. The decomposition enables us to connect the forced and the unforced equations, which provides the blow-up information from the unforced solution to the forced solution. In Chapter 4, we study the Gevrey smoothing effect of the local in time solution to the Prandtl equation in the half plane. It is well-known that the Prandtl boundary layer equation is unstable for general initial data, and is well-posed in Sobolev spaces for monotonic initial data. Under a monotonicity assumption on the tangential velocity of the outflow, we prove Gevrey regularity for the solution to Prandtl equation in the half plane with initial data belonging to some Sobolev space.


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