Thèse soutenue

Un site arithmétique de type connes-consani pour les corps quadratiques imaginaires de nombre de classes 1

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Auteur / Autrice : Aurélien Sagnier
Direction : Éric LeichtnamChristopher Deninger
Type : Thèse de doctorat
Discipline(s) : Mathématiques
Date : Soutenance le 11/07/2017
Etablissement(s) : Sorbonne Paris Cité
Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Sciences mathématiques de Paris centre (Paris ; 2000-....)
Partenaire(s) de recherche : Equipe de recherche : Institut de mathématiques de Jussieu-Paris Rive Gauche (1997-....)
établissement de préparation : Université Paris Diderot - Paris 7 (1970-2019)
Jury : Président / Présidente : Alain Connes
Examinateurs / Examinatrices : Éric Leichtnam, Christopher Deninger, Alain Connes, Caterina Consani, Paul Lescot, Stéphane Gaubert, Georges Skandalis
Rapporteurs / Rapporteuses : Caterina Consani, Paul Lescot

Résumé

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Nous construisons, pour les corps quadratiques imaginaires avec nombre de classes 1, un site arithmétique de type Connes-Consani. La principale difficulté ici est que les constructions de Connes et Consani et une partie de leurs résultats reposent sur la relation d'ordre naturellement présente sur les nombres réels qui est compatible avec les opérations arithmétiques basiques. Bien sûr rien de la sorte n'existe pas dans le cas des corps quadratiques imaginaires avec nombre de classes 1. Nous définissons ce que nous appelons le site arithmétique pour de tels corps de nombres, puis nous calculons les points de ces sites arithmétiques et nous les exprimons en termes de l'espace des classes d'adèles considéré par Connes pour donner une interprétation spectrale des zéros des fonctions L de Hecke. On obtient alors que pour un corps quadratique imaginaire avec nombre de classes 1, les points de notre site arithmétique sont reliés aux zéros de la fonction zêta de Dedekind du corps de nombres considéré et aux zéros de certaines fonctions L de Hecke. Nous étudions ensuite la relation entre le spectre de l'anneau des entiers du corps de nombres et le site arithmétique. Enfin nous construisons le carré du site arithmétique.