Théorie de la preuve infinitaire pour les logiques à points fixes

On the infinitary proof theory of logics with fixed points

• Auteur / Autrice : Amina Doumane
• Direction : Pierre-Louis Curien, Alexis Saurin, David Baelde
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Informatique. Informatique fondamentale
• Date : Soutenance le 27/06/2017
• Etablissement(s) : Sorbonne Paris Cité
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Sciences mathématiques de Paris centre (Paris ; 2000-....)
• Partenaire(s) de recherche : établissement de préparation : Université Paris Diderot - Paris 7 (1970-2019)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Institut de Recherche en Informatique Fondamentale / IRIF
• Jury : Président / Présidente : Igor Walukiewicz
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Pierre-Louis Curien, Alexis Saurin, David Baelde, Igor Walukiewicz, Luke Ong, Martin Hofmann, Arnaud Carayol, Delia Kesner
• Jury : Rapporteur / Rapporteuse : Luke Ong, Martin Hofmann

Mots clés

Mots clés contrôlés

Mu-calcul

Logique mathématique

Informatique -- Mathématiques

Théorie de la démonstration

Mots clés libres

Preuves circulaire et infinitaires

Élimination des coupures

Omega-automates

Axiomatisation de Kozen

Circular and infinitary proofs

Cut-elimination

Omega-automata

Kozen's axiomatization

Résumé

Cette thèse traite de la theorie de la preuve pour les logiques a points fixes, telles que le μ-calcul, lalogique lineaire a points fixes, etc. ces logiques sont souvent munies de systèmes de preuves finitairesavec des règles d’induction à la Park. Il existe néanmoins d’autres sytèmes de preuves pour leslogiques à points fixes, qui reposent sur la notion de preuve infinitaire, mais qui sont beaucoupmoins developpés dans la litterature. L’objectif de cette thèse est de pallier à cette lacune dansl’état de l’art, en developpant la théorie de la preuve infnitaire pour les logiques a points fixes,avec deux domaines d’application en vue: les langages de programmation avec types de données(co)inductifs et la vérification des systèmes réactifs.Cette thèse contient trois partie. Dans la première, on rappelle les deux principales approchespour obtenir des systèmes de preuves pour les logiques à points fixes: les systèmes finitaires avecrègle explicite d’induction et les systèmes finitaires, puis on montre comment les deux approchesse relient. Dans la deuxième partie, on argumente que les preuves infinitaires ont effectivement unréel statut preuve-theorique, en montrant que la logique lineaire additive multiplicative avec pointsfixes admet les propriétés d’élimination des coupures et de focalisation. Dans la troisième partie,on utilise nos developpements sur les preuves infinitaires pour monter de manière constructive lacomplétude du μ-calcul lineaire relativement à l’axiomatisation de Kozen.

The subject of this thesis is the proof theory of logics with fixed points, such as the μ-calculus,linear-logic with fixed points, etc. These logics are usually equipped with finitary deductive systemsthat rely on Park’s rules for induction. other proof systems for these logics exist, which relyon infinitary proofs, but they are much less developped. This thesis contributes to reduce thisdeficiency by developing the infinitary proof-theory of logics with fixed points, with two domainsof application in mind: programming languages with (co)inductive data types and verification ofreactive systems.This thesis contains three parts. In the first part, we recall the two main approaches to theproof theory for logics with fixed points: the finitary and the infinitary one, then we show theirrelationships. In the second part, we argue that infinitary proofs have a true proof-theoreticalstatus by showing that the multiplicative additive linear-logic with fixed points admits focalizationand cut-elimination. In the third part, we apply our proof-theoretical investigations to obtain aconstructive proof of completeness for the linear-time μ-calculus w.r.t. Kozen’s axiomatization.