Construction de théories quantiques des champs topologiques étendus

Construction of extended topological quantum field theories

• Auteur / Autrice : Marco De Renzi
• Direction : Christian Blanchet
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques. Topologie quantique
• Date : Soutenance le 27/10/2017
• Etablissement(s) : Sorbonne Paris Cité
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Sciences mathématiques de Paris centre (Paris ; 2000-....)
• Partenaire(s) de recherche : établissement de préparation : Université Paris Diderot - Paris 7 (1970-2019)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Institut de mathématiques de Jussieu-Paris Rive Gauche (1997-....)
• Jury : Président / Présidente : Louis Funar
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Christian Blanchet, Louis Funar, Francesco Costantino, Vladimir Georgievič Turaev, Christoph Schweigert, Anna Beliakova, Azat M. Gainutdinov, Alexis Virelizier
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Francesco Costantino, Vladimir Georgievič Turaev

Mots clés

Mots clés contrôlés

Théorie quantique des champs

Représentations de groupes quantiques

Invariants

Topologie

Mots clés libres

TQFTs étendues

Catégories Non Semi-Simples

Catégories Modulaires

2-Catégories

Théories Quantiques des Champs Topologiques

Extended TQFTs

Non-semisimple categories

Modular Categories

2-Catégories

Topological Quantum Field Theories

Résumé

La position centrale occupée par les Théories Quantiques des Champs Topologiques (TQFTs) dans l’étude de la topologie en basse dimension est due à leur structure extraordinairement riche, qui permet différentes interactions et applications à des questions de nature géométrique. Depuis leur première apparition, un grand effort a été mis dans l’extension des invariants quantiques de 3-variétés en TQFTs et en TQFT Étendues (ETQFTs). Cette thèse s’attaque à ce problème dans deux cadres généraux différents. Le premier est l’étude des invariants quantiques semi-simples de Witten, Reshetikhin et Turaev issus de catégories modulaires. Bien que les ETQFTs correspondantes étaient connues depuis un certain temps, une réalisation explicite basée sur la construction universelle de Blanchet, Habegger, Masbaum et Vogel apparaît ici pour la première fois. L’objectif est de tracer la route à suivre dans la deuxième partie de la thèse, où la même procédure est appliquée à une nouvelle famille d’invariants quantiques non semi-simples due à Costantino, Geer et Patureau. Ces invariants avaient déjà été étendus en TQFTs graduées par Blanchet, Costantino, Geer and Patureau, mais seulement pour une famille explicite d’exemples. Nous posons la première pierre en introduisant la définition de catégorie modulaire relative, un analogue non semi-simple aux catégories modulaires. Ensuite, nous affinons la construction universelle pour obtenir des ETQFTs graduées étendant à la fois les invariants quantiques de Costantino, Geer et Patureau et les TQFTs graduées de Blanchet, Costantino, Geer et Patureau dans ce cadre général

The central position held by Topological Quantum Field Theories (TQFTs) in the study of low dimensional topology is due to their extraordinarily rich structure, which allows for various interactions with and applications to questions of geometric nature. Ever since their first appearance, a great effort has been put into extending quantum invariants of 3-dimensional manifolds to TQFTs and Extended TQFTs (ETQFTs). This thesis tackles this problem in two different general frameworks. The first one is the study of the semisimple quantum invariants of Witten, Reshetikhin and Turaev issued from modular categories. Although the corresponding ETQFTs were known to exist for a while, an explicit realization based on the universal construction of Blanchet, Habegger, Masbaum and Vogel appears here for the first time. The aim is to set a golden standard for the second part of the thesis, where the same procedure is applied to a new family of non-semisimple quantum invariants due to Costantino, Geer and Patureau. These invariants had been previously extended to graded TQFTs by Blanchet, Costantino, Geer an Patureau, but only for an explicit family of examples. We lay the first stone by introducing the definition of relative modular category, a non-semisimple analogue to modular categories. Then, we refine the universal construction to obtain graded ETQFTs extending both the quantum invariants of Costantino, Geer and Patureau and the graded TQFTs of Blanchet, Costantino, Geer and Patureau in this general setting