Transport optimal sur les structures sous-Riemanniennes admettant des géodésiques minimisantes singulières

Mass transportation in sub-Riemannian structures admitting singular minimizing geodesics

• Auteur / Autrice : Zeinab Badreddine
• Direction : Bernard Bonnard, Ludovic Rifford
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Soutenance le 04/12/2017
• Etablissement(s) : Bourgogne Franche-Comté
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Carnot-Pasteur (Besançon ; Dijon ; 2012-....)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Institut de Mathématiques de Bourgogne (IMB) (Dijon)
• Jury : Président / Présidente : Séverine Rigot
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Frédéric Jean, Enrico Le Donne

Mots clés

Mots clés contrôlés

Géométrie de Riemann

Géodésiques (mathématiques)

Mots clés libres

Problème de Monge

Géodésiques minimisantes singulières

Géométrie sous-Riemannienne

Monge problem

Singular minimizing geodesic

Sub-Riemannian geometry

Résumé

Cette thèse est consacrée à l’étude du problème de transport de Monge pour le coût quadratique en géométrie sous-Riemannienne et des conditions essentielles à l’obtention des résultats d’existence et et d’unicité de solutions. Ces travaux consistent à étendre ces résultats au cas des structures sous-Riemanniennes admettant des géodésiques minimisantes singulières. Dans une première partie, on développe des techniques inspirées de travaux de Cavalletti et Huesmann pour d’obtenir des résultats significatifs pour des structures de rang 2 en dimension 4. Dans une deuxième partie, on étudie des outils analytiques de la h-semiconcavité de la distance sousriemannienne et on montre comment ce type de régularité peut aboutit à l’obtention d’existence et d’unicité de solutions dans un cas général.

This thesis is devoted to the study of the Monge transport problem for the quadratic cost in sub-Riemannian geometry and the essential conditions to obtain existence and uniqueness of solutions. These works consist in extending these results to the case of sub-Riemannian structures admitting singular minimizing geodesics. In a first part, we develop techniques inspired by works by Cavalletti and Huesmann in order to obtain significant results for structures of rank 2 in dimension 4. In a second part, we study analytical tools of the h-semiconcavity of the sub-Riemannian distance and we show how this type of regularity can lead to the well-posedness of the Monge problem in general cases.