Invariants numériques de catégories de fusion : calculs et applications

Numerical invariants of fusion categories : calculations and applications

• Auteur / Autrice : Michaël Mignard
• Direction : Peter Schauenburg
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Soutenance le 14/12/2017
• Etablissement(s) : Bourgogne Franche-Comté
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Carnot-Pasteur (Besançon ; Dijon ; 2012-....)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Institut de Mathématiques de Bourgogne (IMB) (Dijon)
• Jury : Président / Présidente : Julien Bichon
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Giuseppe Dito
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Christoph Schweigert, Sonia Natale

Mots clés

Mots clés contrôlés

Cohomologie

Représentations de groupes

Groupes quantiques

Mots clés libres

Catégories de fusion

Catégories et données modulaires

Indicateurs de Frobenius-Schur

Groupes quantiques

Représentations des groupes

Cohomologie des groupes

Fusion categories

Modular categories and data

Frobenius-Schur indicators

Quantum groups

Groups representations

Group cohomology

Résumé

Les catégories de fusion pointées sont des catégories de fusion pour lesquelles les objets simples sont inversibles. Nous développons des méthodes basés par ordinateur pour classifier les catégories pointées à équivalence de Morita près, et les appliquons aux catégories pointées de dimensions comprises entre 2 et 32. Nous prouvons qu'il existe 1126 classes de Morita pour de telles catégories. Aussi, nous prouvons que les indicateurs de Frobenius-Schur du centre d'une catégorie pointée de dimension inférieure à 32, accompagnés de structure enrubannée de ce centre, déterminent sa classe de Morita. Ceci est faux en général: les données modulaires, et donc a fortiori les indicateurs et structures enrubannées, ne distinguent pas les catégories modulaires. Nous donnons une famille d'exemples ; en réalité, il existe un nombre arbitrairement grand de catégories modulaires deux-à-deux non équivalentes qui peuvent partager les mêmes données modulaires.

Pointed fusion categories are fusion categories in which all simple objects are invertible. We develop computer-based methods to classify pointed categories up to Morita equivalence, and apply them to pointed fusion categories of dimension from 2 to 31. We prove that there are 1126 Morita classes of such categories. Also, we prove that the Frobenius-Schur indicators of the centers of a pointed category of dimension less than 32, along with its ribbon twist, determine its Morita class. This is not true in general: the modular data, and a fortiori the indicators and the ribbon twists, do not distinguish modular categories. We give a family of examples; in fact, arbitrarly many pairwise non-equivalent modular categories can share the same modular data.