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Approche analytique pour le mouvement brownien réfléchi dans des cônes
2017
2017-12-08
Electronic Thesis or
Dissertation
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Le mouvement Brownien réfléchi de manière oblique dans le quadrant, introduit par Harrison, Reiman, Varadhan et Williams dans les années 80, est un objet largement analysé dans la littérature probabiliste. Cette thèse, qui présente l’étude complète de la mesure invariante de ce processus dans tous les cônes du plan, a pour objectif plus global d’étendre au cadre continu une méthode analytique développée initialement pour les marches aléatoires dans le quart de plan par Fayolle, Iasnogorodski et Malyshev dans les années 70. Cette approche est basée sur des équations fonctionnelles, reliant des fonctions génératrices dans le cas discret et des transformées de Laplace dans le cas continu. Ces équations permettent de déterminer et de résoudre des problèmes frontière satisfaits par ces fonctions génératrices. Dans le cas récurrent, cela permet de calculer explicitement la mesure invariante du processus avec rebonds orthogonaux, dans le chapitre 2, et avec rebonds quelconques, dans le chapitre 3. Les transformées de Laplace des mesures invariantes sont prolongées analytiquement sur une surface de Riemann induite par le noyau de l’équation fonctionnelle. L’étude des singularités et l’application de méthodes du point col sur cette surface permettent de déterminer l’asymptotique complète de la mesure invariante selon toutes les directions dans le chapitre 4.
Obliquely reflected Brownian motion in the quadrant, introduced by Harrison, Reiman, Varadhan and Williams in the eighties, has been studied a lot in the probabilistic literature. This thesis, which presents the complete study of the invariant measure of this process in all the cones of the plan, has for overall aim to extend to the continuous framework an analytic method initially developped for random walks in the quarter plane by Fayolle, Iasnogorodski and Malyshev in the seventies. This approach is based on functional equations which link generating functions in the discrete case and Laplace transform in the continuous case. These equations allow to determine and to solve boundary value problems satisfied by these generating functions. In the recurrent case, it permits to compute explicitly the invariant measure of the process with orthogonal reflexions, in the chapter 2, and with any reflexions, in the chapter 3. The Laplace transform of the invariant measure is analytically extended to a Riemann surface induced by the kernel of the functional equation. The study of singularities and the use of saddle point methods on this surface allows to determine the full asymptotics of the invariant measure along every directions in the chapter 4.
Mouvement brownien, Processus de
Transformation de Laplace
Invariants
Équations fonctionnelles
Distribution asymptotique (théorie des probabilités)
Cône
Problèmes aux limites -- Théorie asymptotique
Polynômes de Tutte
Fonctions génératrices
Mesures invariantes
Probabilités invariantes
Riemann, Surfaces de
Mouvement Brownien réfléchi dans les cônes
Distribution stationnaire
Transformée de Laplace
Fonctions génératrices
Méthode des invariants de Tutte
Problème de valeur frontière
Transformation conforme
Analyse asymptotique
Méthode du point col
Surface de Riemann
Reflected Brownian motion in cones
Stationary distribution
Laplace transform
Generating function
Tutte’s invariant approach
Boundary value problem
Conformal mapping
Asymptotic analysis
Saddle-point method
Riemann surface
Franceschi, Sandro
Raschel, Kilian
Kourkova, Irina
Tours
École doctorale Mathématiques, Informatique, Physique Théorique et Ingénierie des Systèmes (Centre-Val de Loire)
Laboratoire de mathématiques et physique théorique (Tours ; 1996-2017)
http://www.theses.fr/2017TOUR4046/document