Principes de grandes déviations pour des modèles de matrices aléatoires

Large deviations problems for random matrices

• Auteur / Autrice : Fanny Augeri
• Direction : Charles Bordenave
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques appliquées
• Date : Soutenance le 27/06/2017
• Etablissement(s) : Toulouse 3
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Mathématiques, informatique et télécommunications (Toulouse)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Institut de mathématiques de Toulouse (2007-....)

Mots clés

Mots clés contrôlés

Inégalités (mathématiques)

Grandes déviations

Matrices aléatoires

Mots clés libres

Grandes déviations

Matrices aléatoires

Inégalités de concentration

Large deviations

Random matrices

Concentration inequalities

Résumé

Cette thèse s'inscrit dans le domaine des matrices aléatoires et des techniques de grandes déviations. On s'attachera dans un premier temps à donner des inégalités de déviations pour différentes fonctionnelles du spectre qui reflètent leurs comportement de grandes déviations, pour des matrices de Wigner vérifiant une propriété de concentration indexée par un paramètre alpha ∈ (0,2]. Nous présenterons ensuite le principe de grandes déviations obtenu pour la plus grande valeur propre des matrices de Wigner sans queues Gaussiennes, dans la lignée du travail de Bordenave et Caputo, puis l'étude des grandes déviations des traces de matrices aléatoires que l'on aborde dans trois cas : le cas des beta-ensembles, celui des matrices de Wigner Gaussiennes, et enfin des matrices de Wigner sans queues Gaussiennes. Le cas Gaussien a été l'occasion de revisiter la preuve de Borell et Ledoux des grandes déviations des chaos de Wiener, que l'on prolonge en proposant un énoncé général de grandes déviations qui nous permet donner une autre preuve des principes de grandes déviations des matrices de Wigner sans queues Gaussiennes. Enfin, nous donnons une nouvelle preuve des grandes déviations de la mesure spectrale empirique des beta-ensembles associés à un potentiel quadratique, qui ne repose que sur leur représentation tridiagonale.

This thesis falls within the theory of random matrices and large deviations techniques. We mainly consider large deviations problems which involve a heavy-tail phenomenon. In a first phase, we will focus on finding concentration inequalities for different spectral functionals which reflect their large deviations behavior, for random Hermitian matrices satisfying a concentration property indexed by some alpha ∈ (0,2]. Then we will present the large deviations principle we obtained for the largest eigenvalue of Wigner matrices without Gaussian tails, in line with the work of Bordenave and Caputo. Another example of heavy-tail phenomenon is given by the large deviations of traces of random matrices which we investigate in three cases: the case of beta-ensembles, of Gaussian Wigner matrices, and the case of Wigner matrices without Gaussian tails. The Gaussian case was the opportunity to revisit Borell and Ledoux's proof of the large deviations of Wiener chaoses, which we investigate further by proposing a general large deviations statement, allowing us to give another proof of the large deviations principles known for the Wigner matrices without Gaussian tail. Finally, we give a new proof of the large deviations principles for the beta-ensembles with a quadratic potential, which relies only on the tridiagonal representation of these models. In particular, this result gives a proof of the large deviations of the GUE and GOE which does not rely on the knowledge of the law of the spectrum.