Thèse soutenue

Généralisations géométriques et combinatoires de l'associaèdre

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Auteur / Autrice : Thibault Manneville
Direction : Gilles Schaeffer
Type : Thèse de doctorat
Discipline(s) : Mathématiques et Informatique
Date : Soutenance le 06/07/2017
Etablissement(s) : Université Paris-Saclay (ComUE)
Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Sciences et technologies de l'information et de la communication (Orsay, Essonne ; 2015-....)
Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Laboratoire d'informatique de l'École polytechnique (Palaiseau, Essonne) - Laboratoire d'informatique de l'École polytechnique [Palaiseau] / LIX
établissement opérateur d'inscription : École polytechnique (Palaiseau, Essonne ; 1795-....)
Jury : Président / Présidente : Florent Hivert
Examinateurs / Examinatrices : Gilles Schaeffer, Vincent Pilaud, Christophe Hohlweg, Sophie Morier-Genoud, Lionel Pournin, Francisco Santos Leal
Rapporteurs / Rapporteuses : Frédéric Chapoton

Mots clés

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Résumé

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L'associaèdre se situe à l'interface de plusieurs domaines mathématiques. Combinatoirement, il s'agit du complexe simplicial des dissections d'un polygone convexe (ensembles de diagonales ne se croisant pas deux à deux). Géométriquement, il s'agit d'un polytope dont les sommets et les arêtes encodent le graphe dual du complexe des dissections. Enfin l'associaèdre décrit la structure combinatoire qui définit la présentation par générateurs et relations de certaines algèbres, dites << amassées >>. Du fait de son omniprésence, de nouvelles familles généralisant cet objet sont régulièrement découvertes. Cependant elles n'ont souvent que de faibles interactions. Leurs études respectives présentent de notre point de vue deux enjeux majeurs : chercher à les relier en se basant sur les propriétés connues de l'associaèdre ; et chercher pour chacune des cadres combinatoire, géométrique et algébrique dans le même esprit.Dans cette thèse, nous traitons le lien entre combinatoire et géométrie pour certaines de ces généralisations : les associaèdres de graphes, les complexes de sous-mots et les complexes d'accordéons. Nous suivons un fil rouge consistant à adapter, à ces trois familles, une méthode de construction des associaèdres comme éventails (ensembles de cônes polyédraux), dite méthode des d-vecteurs et issue de la théorie des algèbres amassées. De manière plus large, notre problématique principale consiste à réaliser, c'est-à-dire plonger géométriquement dans un espace vectoriel, des complexes abstraits. Nous obtenons trois familles de nouvelles réalisations, ainsi qu'une quatrième encore conjecturale dont les premières instances constituent déjà des avancées significatives.Enfin, en sus des résultats géométriques, nous démontrons des propriétés combinatoires spécifiques à chaque complexe simplicial abordé.