Modélisation de mouvement de foules avec contraintes variées

Crowd motion modelisation under some constraints

• Auteur / Autrice : Fatima Al Reda
• Direction : Bertrand Maury
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques appliquées
• Date : Soutenance le 06/09/2017
• Etablissement(s) : Université Paris-Saclay (ComUE)
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale de mathématiques Hadamard (Orsay, Essonne ; 2015-....)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Laboratoire de mathématiques d'Orsay (1998-....)
• Partenaire(s) de recherche : établissement opérateur d'inscription : Université Paris-Sud (1970-2019)
• Jury : Président / Présidente : Quentin Mérigot
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Bertrand Maury, Quentin Mérigot, Guillaume Carlier, Pierre Degond, Adrien Blanchet, Cécile Appert-Rolland
• Jury : Rapporteur / Rapporteuse : Guillaume Carlier, Pierre Degond

Mots clés

Mots clés contrôlés

Théorie des graphes

Modèles mathématiques

Analyse numérique

Mots clés libres

Optimisation hiérarchique

Mouvement de mouvement de foules

Equations d'évolution sur des graphes

Équilibre de Nash

Flots gradient

Hierarchical optimization

Crowd motion modeling

Evolution equations on graphs

Nash equilibrium

Gradient flows

Résumé

Dans cette thèse, nous nous intéressons à la modélisation de mouvements de foules. Nous proposons un modèle microscopique basé sur la théorie des jeux. Chaque individu a une certaine vitesse souhaitée, celle qu'il adopterait en l'absence des autres. Une personne est influencée par certains de ses voisins, pratiquement ceux qu'elle voit devant elle. Une vitesse réelle est considérée comme possible si elle réalise un équilibre de Nash instantané: chaque individu fait son mieux par rapport à un objectif personnel (vitesse souhaitée), en tenant compte du comportement des voisins qui l'influencent. Nous abordons des questions relatives à la modélisation ainsi que les aspects théoriques du problème dans diverses situations, en particulier dans le cas où chaque individu est influencé par tous les autres, et le cas où les relations d'influence entre les individus présentent une structure hiérarchique. Un schéma numérique est développé pour résoudre le problème dans le second cas (modèle hiérarchique) et des simulations numériques sont proposées pour illustrer le comportement du modèle. Les résultats numériques sont confrontés avec des expériences réelles de mouvements de foules pour montrer la capacité du modèle à reproduire certains effets.Nous proposons une version macroscopique du modèle hiérarchique en utilisant les mêmes principes de modélisation au niveau macroscopique, et nous présentons une étude préliminaire des difficultés posées par cette approche.La dernière problématique qu'on aborde dans cette thèse est liée aux cadres flot gradient dans les espaces de Wasserstein aux niveaux continu et discret. Il est connu que l'équation de Fokker-Planck peut s'interpréter comme un flot gradient pour la distance de Wasserstein continue. Nous établissons un lien entre une discrétisation spatiale du type Volume Finis pour l'équation de Fokker-Planck sur une tesselation de Voronoï et les flots gradient sur le réseau sous-jacent, pour une distance de type Wasserstein récemment introduite sur l'espace de mesures portées par les sommets d'un réseaux.

We are interested in the modeling of crowd motion. We propose a microscopic model based on game theoretic principles. Each individual is supposed to have a desired velocity, it is the one he would like to have in the absence of others. We consider that each individual is influenced by some of his neighbors, practically the ones that he sees. A possible actual velocity is an instantaneous Nash equilibrium: each individual does its best with respect to a personal objective (desired velocity), considering the behavior of the neighbors that influence him. We address theoretical and modeling issues in various situations, in particular when each individual is influenced by all the others, and in the case where the influence relations between individuals are hierarchical. We develop a numerical strategy to solve the problem in the second case (hierarchical model) and propose numerical simulations to illustrate the behavior of the model. We confront our numerical results with real experiments and prove the ability of the hierarchical model to reproduce some phenomena.We also propose to write a macroscopic counterpart of the hierarchical model by translating the same modeling principles to the macroscopic level and make the first steps towards writing such model.The last problem tackled in this thesis is related to gradient flow frameworks in the continuous and discrete Wasserstein spaces. It is known that the Fokker-Planck equation can be interpreted as a gradient flow for the continuous Wasserstein distance. We establish a link between some space discretization strategies of the Finite Volume type for the Fokker- Planck equation in general meshes (Voronoï tesselations) and gradient flows on the underlying networks of cells, in the framework of discrete Wasserstein-like distance on graphs recently introduced.