Thèse soutenue

Convergence de Benjamini-Schramm des espaces localement symétriques
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Auteur / Autrice : Mikołaj Frączyk
Direction : Emmanuel Breuillard
Type : Thèse de doctorat
Discipline(s) : Mathématiques fondamentales
Date : Soutenance le 31/08/2017
Etablissement(s) : Université Paris-Saclay (ComUE)
Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale de mathématiques Hadamard (Orsay, Essonne ; 2015-....)
Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Laboratoire de mathématiques d'Orsay (1998-....)
établissement opérateur d'inscription : Université Paris-Sud (1970-2019)
Jury : Président / Présidente : Emmanuel Ullmo
Examinateurs / Examinatrices : Emmanuel Breuillard, Emmanuel Ullmo, Nicolas Bergeron, Erez Lapid, Farrell Brumley, Bertrand Rémy
Rapporteurs / Rapporteuses : Nicolas Bergeron, Erez Lapid

Résumé

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Le sujet principal de ce mémoire est le comportement asymptotique de la géométrie et topologie des variétés localement symétriques Γ\X quand le volume tend vers l’infini. Notre premier résultat porte sur la convergence Benjamini-Schramm des 2 ou 3-variétés hyperboliques arithmétiques. Une suite d'espaces localement symétriques (Γₙ\X) converge Benjamini-Schramm vers l'espace symétrique X si pour chaque R≻0 la limite de Vol((Γ\X)_{≺R})/Vol(Γ\X). On montre qu'il existe une constante réelle C=C_R satisfaisant la propriété suivante: pour chaque réseau arithmétique de congruence Γ de PGL(2,ℝ) ou PGL(2,ℂ) sans torsion on a Vol ((Γ\X)_{≺R})≤C_RVol(Γ\X)⁰⋅⁹⁸⁶. Il n'y a qu'un nombre fini de réseaux arithmétiques de covolume borné par une constante donc ce résultat implique la convergence Benjamini-Schramm pour des variétés arithmétiques de congruence. On donne aussi une version de (\ref{AbsFr1}) un peu plus faible qui reste vraie pour des réseaux arithmétiques qui ne sont pas de congruence. Les majorations de volume de la partie R-mince sont déduites d'une version forte de la propriété de la multiplicité limite satisfaite par les réseaux arithmétiques de PGL(2,ℝ) et PGL(2,ℂ). En utilisant nos résultats on confirme la conjecture de Gelander pour des 3-variétés arithmétiques hyperboliques: pour chaque telle variété M on construit un complexe simplicial N homotope à M dont le nombre des simplexes est O(Vol(M)) et le degré des nœuds est uniformément borné par une constante absolue. Dans la deuxième partie on s'intéresse aux espaces localement symétriques Γ\X où X est de rang supérieur ou égal à 2. Notre résultat principal affirme que la dimension du premier groupe d'homologie à coefficients dans F₂ (corps avec 2 éléments) est sous-linéaire en le volume. Ce résultat est à comparer avec des travaux de Calegari et Emerton sur la cohomologie mod-p dans les tours p-adiques des 3-variétés et les résultats d'Abert, Gelander et Nikolov sur le rang des sous-groupes d'un réseau de rang supérieur à angles droits. Le point fort de notre approche est qu'il n'y a pas besoin de travailler dans une seule classe de commensurabilité. La troisième partie est indépendante des deux premières. Elle porte sur une extension du théorème de Kesten. Le théorème de Kesten affirme que si Gamma est un groupe engendré par un ensemble fini symétrique S, N est un sous-groupe normal de Γ alors N est moyennable si et seulement si les rayons spectraux du graphe de Cayley Cay(Γ,S) et du graphe de Scheier Sch(Γ/N,S) coïncident. En utilisant les techniques de Abert, Glasner et Virag on généralise le theorème de Kesten aux N-uniformément récurrents.