Comportement en temps long d'équations de type Vlasov : études mathématiques et numériques

Long time behavior of certain Vlasov equations : mathematics and numerics

• Auteur / Autrice : Romain Horsin
• Direction : Erwan Faou, Frédéric Rousset
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques et Applications
• Date : Soutenance le 01/12/2017
• Etablissement(s) : Rennes 1
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Mathématiques et sciences et technologies de l'information et de la communication (Rennes)
• Partenaire(s) de recherche : ComuE : Université Bretagne Loire (2016-2019)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Institut de recherche mathématique (Rennes ; 1996-....) - IRMAR - INRIA-Rennes - IPSO
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Mihaï Bostan, Francis Filbet, Mohammed Lemou, Marjolaine Puel
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Mihaï Bostan, Francis Filbet

Mots clés

Mots clés contrôlés

Plasmas (gaz ionisés)

Équations cinétiques

Systèmes hamiltoniens

Analyse numérique

Équations aux dérivées partielles

Mots clés libres

Équations de type Vlasov

Équations d’Euler

Équations de transport

Amortissement Landau

État stationnaire

Méthodes de splitting

Méthodes semi-Lagrangiennes

Intégrateur symplectique

Intégrateur de Crouch-Grossman

Analyse d’erreur rétrograde

Systèmes hamiltoniens

Coordonnées action-angle

Vlasov equations

Euler equations

Transport equations

Landau damping

Stationary state

Splitting methods

Semi-Lagrangian methods

Symplectic integrator

Crouch-Grossman integrator

Backward error analysis

Hamiltonian systems

Angle-action variables

Résumé

Cette thèse porte sur le comportement en temps long de solutions d’équations de type Vlasov, principalement le modèle Vlasov-HMF. On s’intéresse en particulier au phénomène d’amortissement Landau, prouvé mathématiquement dans divers cadres, pour plusieurs équations de type Vlasov, comme l’équation de Vlasov-Poisson ou le modèle Vlasov-HMF, et présentant certaines analogies avec le phénomène d’amortissement non visqueux pour l’équation d’Euler 2D. Les résultats qui y sont décrits sont les suivants. Le premier est un théorème d’amortissement Landau pour des solutions numériques du modèle Vlasov-HMF, obtenues par discrétisation en temps de ce dernier via des méthodes de splitting. Nous prouvons en outre la convergence des schémas numériques. Le second est un théorème d’amortissment Landau pour des solutions du modéle Vlasov-HMF linéarisé autour d’états stationnaires inhomogènes. Ce théorème est accompagné de nombreuses simulations numériques destinées à étudier numériquement le cas non-linéaire, et semblant mettre en lumière de nouveaux phénomènes. Enfin, le dernier résultat porte sur la discrétisation en temps de l’équation d’Euler 2D par un intégrateur de Crouch-Grossman symplectique. Nous prouvons la convergence du schéma.

This thesis concerns the long time behavior of certain Vlasov equations, mainly the Vlasov- HMF model. We are in particular interested in the celebrated phenomenon of Landau damp- ing, proved mathematically in various frameworks, foar several Vlasov equations, such as the Vlasov-Poisson equation or the Vlasov-HMF model, and exhibiting certain analogies with the inviscid damping phenomenon for the 2D Euler equation. The results described in the document are the following.The first one is a Landau damping theorem for numerical solutions of the Vlasov-HMF model, constructed by means of time-discretizations by splitting methods. We prove more- over the convergence of the schemes. The second result is a Landau damping theorem for solutions of the Vlasov-HMF model linearized around inhomogeneous stationary states. We provide moreover a quite large amount of numerical simulations, which are designed to study numerically the nonlinear case, and which seem to show new phenomenons. The last result is the convergence of a scheme that discretizes in time the 2D Euler equation by means of a symplectic Crouch-Grossmann integrator.