Résolution exacte du Problème de Coloration de Graphe et ses variantes

Exact algorithms for the Vertex Coloring Problem and its generalisations

• Auteur / Autrice : Ian-Christopher Ternier
• Direction : Virginie Gabrel
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Informatique
• Date : Soutenance le 21/11/2017
• Etablissement(s) : Paris Sciences et Lettres (ComUE)
• Ecole(s) doctorale(s) : Ecole doctorale SDOSE (Paris)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Laboratoire d'analyse et modélisation de systèmes pour l'aide à la décision (Paris)
• Partenaire(s) de recherche : Etablissement de préparation de la thèse : Université Paris Dauphine-PSL (1968-....)
• Jury : Président / Présidente : Christophe Picouleau
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Virginie Gabrel, Christophe Picouleau, Roberto Wolfer Calvo, Pablo San Segundo Carrillo, Fabio Furini, Ivana Ljubić
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Roberto Wolfer Calvo, Pablo San Segundo Carrillo

Mots clés

Mots clés contrôlés

Optimisation combinatoire

Théorie des graphes

Coloriage de graphes

Relaxation, Méthodes de (mathématiques)

Programmation linéaire

Mots clés libres

Coloration de graphe

Dsatur

Séparation et Evaluation

Programmation Linéaire en Nombres Entiers

Génération de colonnes

Algorithme de génération de colonnes et branchement

Graph Coloring

Dsatur

Branch and Bound

Integer Linear Programming

Column Generation

Branch-And-Price

Résumé

Dans un graphe non orienté, le Problème de Coloration de Graphe (PCG) consiste à assigner à chaque sommet du graphe une couleur de telle sorte qu'aucune paire de sommets adjacents n'aient la même couleur et le nombre total de couleurs est minimisé. DSATUR est un algorithme exact efficace pour résoudre le PCG. Un de ses défauts est qu'une borne inférieure est calculée une seule fois au noeud racine de l'algorithme de branchement, et n'est jamais mise à jour. Notre nouvelle version de DSATUR surpasse l'état de l'art pour un ensemble d'instances aléatoires à haute densité, augmentant significativement la taille des instances résolues. Nous étudions trois formulations PLNE pour le Problème de la Somme Chromatique Minimale (PSCM). Chaque couleur est représentée par un entier naturel. Le PSCM cherche à minimiser la somme des cardinalités des sous-ensembles des sommets recevant la même couleur, pondérés par l'entier correspondant à la couleur, de telle sorte que toute paire de sommets adjacents reçoive des couleurs différentes. Nous nous concentrons sur l'étude d'une formulation étendue et proposons un algorithme de Branch-and-Price.

Given an undirected graph, the Vertex Coloring Problem (VCP) consists of assigning a color to each vertex of the graph such that two adjacent vertices do not share the same color and the total number of colors is minimized. DSATUR is an effective exact algorithm for the VCP. We introduce new lower bounding techniques enabling the computing of a lower bound at each node of the branching scheme. Our new DSATUR outperforms the state of the art for random VCP instances with high density, significantly increasing the size of solvable instances. Similar results can be achieved for a subset of high density DIMACS instances. We study three ILP formulations for the Minimum Sum Coloring Problem (MSCP). The problem is an extension of the classical Vertex Coloring Problem in which each color is represented by a positive natural number. The MSCP asks to minimize the sum of the cardinality of subsets of vertices receiving the same color, weighted by the index of the color, while ensuring that vertices linked by an edge receive different colors. We focus on studying an extended formulation and devise a complete Branch-and-Price algorithm.