Thèse soutenue

Polynômes aléatoires, gaz de Coulomb, et matrices aléatoires

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Auteur / Autrice : Raphaël Butez
Direction : Djalil Chafaï
Type : Thèse de doctorat
Discipline(s) : Sciences
Date : Soutenance le 04/12/2017
Etablissement(s) : Paris Sciences et Lettres (ComUE)
Ecole(s) doctorale(s) : Ecole doctorale SDOSE (Paris)
Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Centre de recherche en mathématiques de la décision (Paris)
Etablissement de préparation de la thèse : Université Paris Dauphine-PSL (1968-....)
Jury : Président / Présidente : Mylène Maïda
Examinateurs / Examinatrices : Djalil Chafaï, Mylène Maïda, Catherine Donati-Martin, Sandrine Péché, Laure Dumaz, Mathieu Lewin, Grégory Schehr, Adrien Hardy
Rapporteurs / Rapporteuses : Catherine Donati-Martin, Sandrine Péché

Mots clés

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Résumé

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L'objet principal de cette thèse est l'étude de plusieurs modèles de polynômes aléatoires. Il s'agit de comprendre le comportement macroscopique des racines de polynômes aléatoires dont le degré tend vers l'infini. Nous explorerons la connexion existant entre les racines de polynômes aléatoires et les gaz de Coulomb afin d'obtenir des principes de grandes déviations pour la mesure empiriques des racines. Nous revisitons l'article de Zeitouni et Zelditch qui établit un principe de grandes déviations pour un modèle général de polynômes aléatoires à coefficients gaussiens complexes. Nous étendons ce résultat au cas des coefficients gaussiens réels. Ensuite, nous démontrons que ces résultats restent valides pour une large classe de lois sur les coefficients, faisant des grandes déviations un phénomène universel pour ces modèles. De plus, nous démontrons tous les résultats précédents pour le modèle des polynômes de Weyl renormalisés. Nous nous intéressons aussi au comportement de la racine de plus grand module des polynômes de Kac. Celle-ci a un comportement non-universel et est en général une variable aléatoire à queues lourdes. Enfin, nous démontrons un principe de grandes déviations pour la mesure empirique des ensembles biorthogonaux.