Processus de branchements et graphe d'Erdős-Rényi

Branching processes and Erdős-Rényi graph

• Auteur / Autrice : Pierre-Antoine Corre
• Direction : Julien Berestycki
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Soutenance le 29/11/2017
• Etablissement(s) : Paris 6
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Sciences mathématiques de Paris centre (Paris ; 2000-....)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Laboratoire de probabilités et modèles aléatoires (Paris ; 1997-2017)
• Jury : Président / Présidente : Yueyun Hu
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Thomas Duquesne, Christina Goldschmidt, Zhan Shi
• Jury : Rapporteur / Rapporteuse : Brigitte Chauvin, Louigi Addario-Berry

Mots clés

Mots clés contrôlés

Arbres (théorie des graphes)

Mouvement brownien, Processus de

Graphes aléatoires

Mots clés libres

Processus de Yule

Arbres binaires de recherche

Mouvement brownien branchant avec absorption

Graphe d'Erdős–Rényi

Coalescent multiplicatif

Yule process

Branching brownian motion

Erdős–Rényi graph

Résumé

Le fil conducteur de cette thèse, composée de trois parties, est la notion de branchement.Le premier chapitre est consacré à l'arbre de Yule et à l'arbre binaire de recherche. Nous obtenons des résultats d'oscillations asymptotiques de l'espérance, de la variance et de la distribution de la hauteur de ces arbres, confirmant ainsi une conjecture de Drmota. Par ailleurs, l'arbre de Yule pouvant être vu comme une marche aléatoire branchante évoluant sur un réseau, nos résultats permettent de mieux comprendre ce genre de processus.Dans le second chapitre, nous étudions le nombre de particules tuées en 0 d'un mouvement brownien branchant avec dérive surcritique conditionné à s'éteindre. Nous ferons enfin apparaître une nouvelle phase de transition pour la queue de distribution de ces variables. L'objet du dernier chapitre est le graphe d'Erdős–Rényi dans le cas critique : G(n,1/n). En introduisant un couplage et un changement d'échelle, nous montrerons que, lorsque n augmente les composantes de ce graphe évoluent asymptotiquement selon un processus de coalescence-fragmentation qui agit sur des graphes réels. La partie coalescence sera de type multiplicatif et les fragmentations se produiront selon un processus ponctuel de Poisson sur ces objets.

This thesis is composed by three chapters and its main theme is branching processes.The first chapter is devoted to the study of the Yule tree and the binary search tree. We obtain oscillation results on the expectation, the variance and the distribution of the height of these trees and confirm a Drmota's conjecture. Moreover, the Yule tree can be seen as a particular instance of lattice branching random walk, our results thus allow a better understanding of these processes.In the second chapter, we study the number of particles killed at 0 for a Brownian motion with supercritical drift conditioned to extinction. We finally highlight a new phase transition in terms of the drift for the tail of the distributions of these variables.The main object of the last chapter is the Erdős–Rényi graph in the critical case: G(n,1/n). By using coupling and scaling, we show that, when n grows, the scaling process is asymptotically a coalescence-fragmentation process which acts on real graphs. The coalescent part is of multiplicative type and the fragmentations happen according a certain Poisson point process.