Inégalités de Carleman près du bord, d’une interface et pour des problèmes singuliers

Carleman estimates near boundaries, interfaces and for singular problems

• Auteur / Autrice : Rémi Buffe
• Direction : Jérôme Le Rousseau
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Soutenance le 22/11/2017
• Etablissement(s) : Orléans
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Mathématiques, Informatique, Physique Théorique et Ingénierie des Systèmes (Centre-Val de Loire ; 2012-....)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Laboratoire mathématiques - analyse, probabilités, modélisation (Orléans ; 2012-2017)
• Jury : Président / Présidente : Karine Beauchard
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Jérôme Le Rousseau, Karine Beauchard, Gilles Lebeau, Jean-Michel Coron, Luc Hillairet, Kim Dang Phung, Luc Robbiano, Assia Benabdallah
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Gilles Lebeau, Jean-Michel Coron

Mots clés

Mots clés contrôlés

Équations d'onde

Équation de la chaleur

Carleman, Méthode de

Équations aux dérivées partielles

Mots clés libres

Equations aux dérivées partielles

Inégalités Carleman

Contrôle de l’équation de la chaleur

Ventcel

Stabilisation de l’équation des ondes

Inégalité spectrale

Domaines polygonaux

Multi-interfaces

Partial differential equations

Carleman estimates

Control of the heat equation

Ventcel

Stabilization of the wave equation

Spectral inequality

Polygonal domains

Multi-interfaces

Résumé

Dans la première partie de ce mémoire, on s’attache à l’obtention d’Inégalités de Carleman elliptiques pour des opérateurs d’ordre deux au bord pour des conditions dites de Ventcel. Dans une seconde partie, on démontre une Inégalité adaptée aux multi-interfaces, pour des opérateurs elliptiques d’ordre quelconque, sous la condition classique de sous-ellipticité de Hörmander, ainsi que sous une condition de compatibilité entre les opérateurs sur la multi-interface et l’intérieur, dite de recouvrement. Cette condition généralise la condition de Lopatinskii. Enfin, dans une troisième partie, on s’intéresse à la contrôlabilté de l’équation de la chaleur et la stabilisation faible de l’équation des ondes dans des domaines polygonaux.

In the first part of this thesis, we derive elliptic Carleman estimates for second-order operators with Ventcel boundary conditions. In the second part, we prove a proper estimate near multi-interfaces for elliptic operatorsof any order, under the classical sub-ellipticity condition of Hörmander and under a compatibility condition between the operators in the interior and at the multi-interface, called the covering condition. This condition is a generalization of the well-known Lopatinskii condition. Finally, in the third part, we focus on controllability properties of the heat equation, and stabilization properties of the wave equation for polygonal domains, with mixed boundary conditions.