Méthodes numériques avec des éléments finis adaptatifs pour la simulation de condensats de Bose-Einstein

Adaptive Finite-element Methods for the Numerical Simulation of Bose-Einstein Condensates

• Auteur / Autrice : Guillaume Vergez
• Direction : Ionut Danaila, Frédéric Hecht
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathematiques
• Date : Soutenance le 06/06/2017
• Etablissement(s) : Normandie
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale sciences physiques mathématiques et de l'information pour l'ingénieur (Saint-Etienne-du-Rouvray, Seine-Maritime ; ....-2016)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Laboratoire de mathématiques Raphaël Salem (Saint-Etienne-du-Rouvray, Seine-Maritime ; 2000-...) - Laboratoire Jacques-Louis Lions (Paris ; 1997-....) - Laboratoire de Mathématiques Raphaël Salem / LMRS
• Partenaire(s) de recherche : Etablissement de préparation de la thèse : Université de Rouen Normandie (1966-....)
• Jury : Président / Présidente : Xavier ‎Blanc‎
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Marc-Étienne Brachet, Olivier Pantz

Mots clés

Mots clés contrôlés

Newton, Méthode de

Superfluidité

Calcul adaptatif

Éléments finis, Méthode des

Condensation de Bose-Einstein

Équations de Gross-Pitaevskii

Mots clés libres

Dir. mathematiques

FreeFem++

Ipopt

Gross-Pitaevskii

Bose-Einstein

Eléments finis

Adaptation de maillage

Méthode de splitting

Relaxation

Crank-Nicolson

Newton

Bogoliubov-de Gennes

Arpack

FreeFem++

Ipopt

Gross-Pitaevskii

Bose-Einstein

Finite elements

Mesh adaptivity

Splitting method

Relaxation

Crank-Nicolson

Newton

Bogoliubov-de Gennes

Arpack

Résumé

Le phénomène de condensation d’un gaz de bosons lorsqu’il est refroidi à zéro degrés Kelvin futdécrit par Einstein en 1925 en s’appuyant sur des travaux de Bose. Depuis lors, de nombreux physiciens,mathématiciens et numériciens se sont intéressés au condensat de Bose-Einstein et à son caractère superfluide. Nous proposons dans cette étude des méthodes numériques ainsi qu’un code informatique pour la simulation d’un condensat de Bose-Einstein en rotation. Le principal modèle mathématique décrivant ce phénomène physique est une équation de Schrödinger présentant une non-linéarité cubique,découverte en 1961 : l’équation de Gross-Pitaevskii (GP). En nous appuyant sur le logiciel FreeFem++,nous nous servons d’une discrétisation spatiale en éléments-finis pour résoudre numériquement cette équation. Une méthode d’adaptation du maillage à la solution et l’utilisation d’éléments-finis d’ordre deux nous permet de résoudre finement le problème et d’explorer des configurations complexes en deux ou trois dimensions d’espace. Pour sa version stationnaire, nous avons développé une méthode de gradient de Sobolev ou une méthode de point intérieur implémentée dans la librairie Ipopt. Pour sa version instationnaire, nous utilisons une méthode de Time-Splitting combinée à un schéma de Crank-Nicolson ou une méthode de relaxation. Afin d’étudier la stabilité dynamique et thermodynamique d’un état stationnaire, le modèle de Bogoliubov-de Gennes propose une linéarisation de l’équation de Gross-Pitaevskii autour de cet état. Nous avons élaboré une méthode permettant de résoudre ce système aux valeurs et vecteurs propres, basée sur un algorithme de Newton ainsi que sur la méthode d’Arnoldi implémentée dans la librairie Arpack.

The phenomenon of condensation of a boson gas when cooled to zero degrees Kelvin was described by Einstein in 1925 based on work by Bose. Since then, many physicists, mathematicians and digitizers have been interested in the Bose-Einstein condensate and its superfluidity. We propose in this study numerical methods as well as a computer code for the simulation of a rotating Bose-Einstein condensate.The main mathematical model describing this phenomenon is a Schrödinger equation with a cubic nonlinearity, discovered in 1961: the Gross-Pitaevskii (GP) equation. By using the software FreeFem++ and a finite elements spatial discretization we solve this equation numerically. The mesh adaptation to the solution and the use of finite elements of order two allow us to solve the problem finely and to explore complex configurations in two or three dimensions of space. For its stationary version, we have developed a Sobolev gradient method or an internal point method implemented in the Ipopt library. .For its unsteady version, we use a Time-Splitting method combined with a Crank-Nicolson scheme ora relaxation method. In order to study the dynamic and thermodynamic stability of a stationary state,the Bogoliubov-de Gennes model proposes a linearization of the Gross-Pitaevskii equation around this state. We have developed a method to solve this eigenvalues and eigenvector system, based on a Newton algorithm as well as the Arnoldi method implemented in the Arpack library.