Agrégation à poids exponentiels : inégalités oracles et algorithmes

Exponential weighted aggregation : oracle inequalities and algorithms

• Auteur / Autrice : Duy tung Luu
• Direction : Jalal Fadili, Christophe Chesneau
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathematiques
• Date : Soutenance le 23/11/2017
• Etablissement(s) : Normandie
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale mathématiques, information et ingénierie des systèmes (Caen)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Groupe de Recherche en Informatique, Image, Automatique et Instrumentation de Caen
• Partenaire(s) de recherche : établissement de préparation : Université de Caen Normandie (1971-....)
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Jalal Fadili, Christophe Chesneau, Erwan Le Pennec, Guillaume Lecué, Gabriel Peyré, Pierre Alquier, Arnak S. Dalalyan

Mots clés

Mots clés contrôlés

Statistique mathématique

Variables aléatoires

Équations différentielles stochastiques

Langevin, Équation de

Algorithmes

Dimension, Théorie de la (algèbre)

Évaluation

Mots clés libres

Estimation en grande dimension

A priori de faible complexité

Agrégation à poids exponentiels

Estimation pénalisée

Inégalité d'oracle

Diffusion de Langevin

Algorithme explicite-implicite

Consistence

High-dimensional estimation

Low-complexity prior

Exponential weighted aggregation

Penalized estimation

Oracle inequality

Langevin diffusion

Forward-backward algorithm

Consistency

Résumé

Dans plusieurs domaines des statistiques, y compris le traitement du signal et des images, l'estimation en grande dimension est une tâche importante pour recouvrer un objet d'intérêt. Toutefois, dans la grande majorité de situations, ce problème est mal-posé. Cependant, bien que la dimension ambiante de l'objet à restaurer (signal, image, vidéo) est très grande, sa ``complexité'' intrinsèque est généralement petite. La prise en compte de cette information a priori peut se faire au travers de deux approches: (i) la pénalisation (très populaire) et (ii) l'agrégation à poids exponentiels (EWA). L'approche penalisée vise à chercher un estimateur qui minimise une attache aux données pénalisée par un terme promouvant des objets de faible complexité (simples). L'EWA combine une famille des pré-estimateurs, chacun associé à un poids favorisant exponentiellement des pré-estimateurs, lesquels privilègent les mêmes objets de faible complexité.Ce manuscrit se divise en deux grandes parties: une partie théorique et une partie algorithmique. Dans la partie théorique, on propose l'EWA avec une nouvelle famille d'a priori favorisant les signaux parcimonieux à l'analyse par group dont la performance est garantie par des inégalités oracle. Ensuite, on analysera l'estimateur pénalisé et EWA, avec des a prioris généraux favorisant des objets simples, dans un cardre unifié pour établir des garanties théoriques. Deux types de garanties seront montrés: (i) inégalités oracle en prédiction, et (ii) bornes en estimation. On les déclinera ensuite pour des cas particuliers dont certains ont été étudiés dans littérature. Quant à la partie algorithmique, on y proposera une implémentation de ces estimateurs en alliant simulation Monte-Carlo (processus de diffusion de Langevin) et algorithmes d'éclatement proximaux, et montrera leurs garanties de convergence. Plusieurs expériences numériques seront décrites pour illustrer nos garanties théoriques et nos algorithmes.

In many areas of statistics, including signal and image processing, high-dimensional estimation is an important task to recover an object of interest. However, in the overwhelming majority of cases, the recovery problem is ill-posed. Fortunately, even if the ambient dimension of the object to be restored (signal, image, video) is very large, its intrinsic ``complexity'' is generally small. The introduction of this prior information can be done through two approaches: (i) penalization (very popular) and (ii) aggregation by exponential weighting (EWA). The penalized approach aims at finding an estimator that minimizes a data loss function penalized by a term promoting objects of low (simple) complexity. The EWA combines a family of pre-estimators, each associated with a weight exponentially promoting the same objects of low complexity.This manuscript consists of two parts: a theoretical part and an algorithmic part. In the theoretical part, we first propose the EWA with a new family of priors promoting analysis-group sparse signals whose performance is guaranteed by oracle inequalities. Next, we will analysis the penalized estimator and EWA, with a general prior promoting simple objects, in a unified framework for establishing some theoretical guarantees. Two types of guarantees will be established: (i) prediction oracle inequalities, and (ii) estimation bounds. We will exemplify them for particular cases some of which studied in the literature. In the algorithmic part, we will propose an implementation of these estimators by combining Monte-Carlo simulation (Langevin diffusion process) and proximal splitting algorithms, and show their guarantees of convergence. Several numerical experiments will be considered for illustrating our theoretical guarantees and our algorithms.