Théorèmes limites pour les modèles spatio-temporels à longue mémoire

Limit theorems for spatio-temporal models with long-range dependence

• Auteur / Autrice : Vytauté Pilipauskaité
• Direction : Anne Philippe, Donatas Surgailis
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Soutenance le 20/10/2017
• Etablissement(s) : Nantes en cotutelle avec Vilniaus universitetas
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Mathématiques et sciences et technologies de l'information et de la communication (Rennes)
• Partenaire(s) de recherche : COMUE : Université Bretagne Loire (2016-2019)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Laboratoire de Mathématiques Jean Leray (Nantes)
• Jury : Président / Présidente : Paul Doukhan
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Leipus Remigijus, Paul Rochet
• Jury : Rapporteur / Rapporteuse : Hermine Biermé, Jan Beran

Mots clés

Mots clés contrôlés

Statistique non paramétrique

Panels

Théorèmes des limites (théorie des probabilités)

Mots clés libres

Longue mémoire

Processus AR(1) à coefficient aléatoire

Modèle germes-grains

Résumé

Les travaux de la thèse portent sur les théorèmes limites pour des modèles stochastiques à forte dépendance. Dans la première partie, nous considérons des modèles AR(1) à coefficient aléatoire. Nous identifions trois régimes asymptotiques différents pour le schéma d’agrégation conjointe temporelle-contemporaine lorsque les processus AR sont indépendants et lorsque les AR possède des innovations communes. Ensuite, on discute de l’estimation non paramétrique de la fonction de répartition du coefficient autorégressif à partir d’un panel de séries AR(1) à coefficient aléatoire. Nous prouvons la convergence faible du processus empirique basé sur des estimations des coefficients autorégressifs non observables vers un pont brownien généralisé. Ce résultat est ensuite appliqué pour valider différents outils d’inférence statistique à partir des données du panel AR(1). Dans la deuxième partie de la thèse, nous nous concentrons sur les modèles spatiaux en dimension 2. Nous considérons des champs aléatoires construits à partir des polynômes Appell et de champs aléatoires linéaires. Pour ce modèle non linéaire, nous étudions la limite de ses sommes partielles normalisées prises sur des rectangles et prouvons l’existence d’une transition d’échelle. Enfin, nous abordons la même question pour le modèle de germes-grains aléatoire. Nous mettons en évidence l’existence de deux points de transition dans les limites de ces modèles.

The thesis is devoted to limit theorems for stochastic models with long-range dependence. We first consider a random-coefficient AR(1) process, which can have long memory provided the distribution of autoregressive coefficient concentrates near the unit root. We identify three different limit regimes in the scheme of joint temporal-contemporaneous aggregation for independent copies of random-coefficient AR(1) process and for its copies driven by common innovations. Next, we discuss nonparametric estimation of the distribution of the autoregressive coefficient given multiple random-coefficient AR(1) series. We prove the weak convergence of the empirical process based on estimates of unobservable autoregressive coefficients to a generalized Brownian bridge and apply this result to draw statistical inference from panel AR(1) data. In the second part of the thesis we focus on spatial models in dimension 2. We define a nonlinear random field as the Appell polynomial of a linear random field with long-range dependence. For the nonlinear random field, we investigate the limit of its normalized partial sums over rectangles and prove the existence of scaling transition. Finally, we study such like scaling of the random grain model and obtain two-change points in its limits.