Étude sur le contrôle / régulation automatique des systèmes non-linéaires hyperboliques

Study on the automatic control/regulation for nonlinear hyperbollic systems

• Auteur / Autrice : Ngoc Tu Trinh
• Direction : Cheng-Zhong Xu, Vincent Andrieu
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Automatique
• Date : Soutenance le 06/10/2017
• Etablissement(s) : Lyon
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Électronique, électrotechnique, automatique (Lyon)
• Partenaire(s) de recherche : établissement opérateur d'inscription : Université Claude Bernard (Lyon ; 1971-....)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Laboratoire d'Automatique et de Génie des Procédés (Lyon)
• Jury : Président / Présidente : Gauthier Sallet
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Brigitte d' Andréa-Novel, Valérie Dos Santos Martins
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Jean-Michel Coron, Emilia Fridman

Mots clés

Mots clés contrôlés

Stabilité

Systèmes non linéaires

Équations différentielles hyperboliques

Rétroaction (électronique)

Mots clés libres

Systèmes EDP hyperboliques

Systèmes non-linéaires

Contrôle au bord

Feedback dynamique

Stabilité

Régulation de mesure

PI contrôleur

Fonctionnelle de Lyapunov

Hyperbolic PDE systems

Nonlinear systems

Boundary control

Dynamic feedback

Stability

Output regulation

PI controllers

Lyapunov functional

Résumé

Dans cette étude on s'intéresse à la dynamique d'une classe de systèmes non-linéaires décrits par des équations aux dérivées partielles (EDP) du type hyperbolique. L'objectif de l'étude est de construire des lois de contrôle par feedback dynamique de la sortie afin de stabiliser le système autour d'un point d'équilibre d'une part, et, d'autre part, de réguler la sortie vers le point de consigne. Nous considérons la classe des systèmes gouvernés par des EDP quasi-linéaires du type hyperbolique à deux variables indépendantes (une variable temporelle et une variable spatiale). Pour le bien-posé du système dynamique non seulement l'état initial mais aussi certaines conditions frontières doivent être prescrites en cohérence avec les EDP. Nous supposons que l'observation et le contrôle sont ponctuels. Autrement dit l'action du contrôle intervient dans le système via les conditions frontières et l'observation est effectuée aux points de la frontière. Notre étude est motivée par l'observation que de nombreux processus physiques sont modélisés par ce type d'équations EDP. Nous citons, par exemple, des processus tels que flux trafique en transport, flux de gaz dans un réseau de pipeline, échangeurs thermiques en génie des procédés, équations de télégraphe dans des lignes de transmission, canaux d'irrigation en génie civil etc. Nous commençons l'étude par une EDP non-linéaire scalaire. Dans ce cas-là nous proposons un correcteur intégral stabilisant qui assure la régulation de la sortie avec l'erreur statique nulle. Nous prouvons la stabilisation locale du système non-linéaire par le correcteur intégral en construisant une fonctionnelle de Lyapunov appropriée. La conception des correcteurs proportionnels et intégraux (PI) que nous proposons est étendue dans un cadre de systèmes de deux EDP. Nous prouvons la stabilisation du système en boucle fermée à l'aide d'une nouvelle fonctionnelle de Lyapunov. La synthèse des correcteurs PI stabilisants se poursuit dans un cadre de réseaux formés d'un nombre fini de systèmes à deux EDP : réseau étoilé et réseau série en cascade. Les contrôles et les observations se trouvent localisés aux différents nœuds de connexion. Pour ces configurations nous présentons un ensemble de correcteurs PI stabilisants qui assurent la régulation vers le point de consigne. Les correcteurs PI que nous concevons sont validés par des simulations numériques à partir des modèles non-linéaires EDP. La contribution de la thèse, par rapport à la littérature existante, consiste en l'élaboration de nouvelles fonctionnelles de Lyapunov pour une classe de systèmes stabilisés par correcteur PI. En effet une grande quantité de résultats ont été obtenus sur la stabilisation des systèmes hyperboliques par feedback statique de la sortie. Toutefois il existe encore peu de résultats sur la stabilisation de ces systèmes par feedback dynamique de la sortie. L'étude de la thèse est consacrée sur l'élaboration des fonctionnelles de Lyapunov permettant d'obtenir des correcteurs PI stabilisants. L'approche de Lyapunov direct que nous avons proposée a pour l'avantage de permettre d'étudier la robustesse des lois de feedback de la sortie PI vis-à-vis de la non-linéarité. Une autre contribution de la thèse consiste en la construction des programmes de Malab permettant d'effectuer des simulations numériques pour la validation des correcteurs conçus. Pour la résolution numérique des EDP hyperboliques nous avons discrétisé nos systèmes par le schéma numérique de Preissmann. Nous avons chaque fois un système d'équations algébriques non-linéaires à résoudre de façon récurrente. L'apport des simulations numériques nous permet de mieux comprendre la méthodologie applicative de la théorie du contrôle en dimension infinie

In this study we are interested in the dynamics of a class of nonlinear systems described by partial differential equations (PDE) of the hyperbolic type. The aim of the study is to construct control laws by dynamic feedback of the output in order to stabilize the system around an equilibrium point on the one hand and to regulate the output to the set-point. We consider the class of systems governed by hyperbolic PDEs with two independent variables (one time variable and one spatial variable). For the well-posed dynamic system not only the initial state but also certain boundary conditions must be prescribed in coherence with the PDEs. We assume that observation and control are punctual. In other words, the action of the control intervenes in the system via the boundary conditions and the observation is carried out at the points of the border. Our study is motivated by the observation that many physical processes are modeled by this type of PDE equations. Examples include processes such as traffic flow in transportation, gas flows in a pipeline network, heat exchangers in process engineering, telegraph equations in transmission lines, civil engineering irrigation channels, to cite but a few.We begin the study with a scalar nonlinear PDE. In this case we propose a stabilizing integral controller which ensures the regulation of the output with zero static error. We prove the local stabilization of the nonlinear system by the integral controller by constructing an appropriate Lyapunov functional. The design of the proportional and integral (PI) controllers that we propose is extended in a framework of two PDE systems. We prove the stabilization of the closed-loop system with a new Lyapunov functional. The synthesis of stabilizing PI controllers is carried out in a framework of networks formed by a finite number of two PDE systems: star network and serial network in cascade. Controls and observations are located at the different connection nodes. For these configurations we present a set of stabilizing PI controllers that regulate the output to the set-point. The PI controllers that we design are validated by numerical simulations from the nonlinear PDE models. The contribution of the thesis compared to the existing literature consists in the development of new Lyapunov functionals for the class of systems looped by a PI controller. Indeed, a large number of results have been obtained from the stabilization of hyperbolic systems by static feedback of the output. However, there are still few results with the stabilization of these systems by the output dynamic feedback. The study of the thesis is devoted to the development of the Lyapunov functional to obtain stabilizing PI controllers. The direct Lyapunov approach that we have proposed has the advantage of allowing to study the robustness of the output dynamic feedback laws in the form of PI controllers with respect to the nonlinearity. Another contribution of the thesis consists of the Malab program construction allowing to carry out numerical simulations for the validation of the conceived controllers. For the numerical resolution of hyperbolic PDEs, we have discretized our systems using the Preissmann numerical scheme. Each time moment we have a system of non-linear algebraic equations to be solved in a recurring way. The contribution of numerical simulations allows us to better understand the application methodology of the infinite dimension control theory