Balance properties on Christoffel words and applications

par Lama Tarsissi

Thèse de doctorat en Mathématiques et Informatique

Sous la direction de Laurent Vuillon.

Soutenue le 24-11-2017

à l'Université Grenoble Alpes (ComUE) , dans le cadre de École doctorale mathématiques, sciences et technologies de l'information, informatique (Grenoble) , en partenariat avec Laboratoire de mathématiques (laboratoire) et de Laboratoire de Mathématiques (Chambéry) (laboratoire) .

Le président du jury était Jean-Pierre Borel.

Le jury était composé de Simone Rinaldi, Julien Cassaigne.

Les rapporteurs étaient Michel Rigo, Jean-Marc Fédou.

  • Titre traduit

    Propriétés d'équilibre sur les mots de Christoffel et applications.


  • Résumé

    De nombreux chercheurs se sont intéressés à la Combinatoire des mots aussi bien d'un point de vue théorique que pratique. Pendant plus de 100 ans de recherche, de nombreuses familles de mots ont été découvertes, certaines sont infinies et d'autres sont finies. Dans cette thèse, on s'intéresse aux mots de Christoffel. On aborde aussi les mots de Lyndon et les mots Strumians standards. Dans cette thèse, nous donnons de nombreuses propriétés sur les mots de Christoffel et on approfondit l'étude de la notion d'équilibre. Il est connu que les mots de Christoffel sont des mots équilibrés sur un alphabet binaire et sont formés par la discrétisation de segments de droite de pente rationnelle. Les mots de Christoffel sont aussi retrouvés dans l'étude de la synchronisation de k processus dirigé par k mots équilibrés. Pour k=2, on retombe sur les mots de Christoffel, tandis que pour k>2, la situation est plus compliquée et nous amène à la conjecture de Fraenkel qui est ouverte depuis plus de 40 ans. Comme c'est difficile d'atteindre cette conjecture, alors nous avons cherché à construire des outils qui nous aide à s'approcher de cette conjecture. On introduit ainsi la matrice d'équilibre B_w où w est un mot de Christoffel et la valeur maximale de cette matrice est l'ordre d'équilibre du mot binaire utilisé. Comme les mots de Christoffel sont équilibrés alors la valeur maximale dans ce cas là sera égale à 1 et chaque ligne de cette matrice sera formée des mots binaires. Cela nous pousse à tester de nouveau l'ordre d'équilibre de chaque mot obtenu et une nouvelle matrice est obtenue qui s'appelle matrice d'équilibre du second ordre . Cette matrice admet de plusieurs propriétés et de symétries et a une forme particulière comme on est capable de la partager en 9 blocs où c'est suffisant de savoir 3 parmi eux pour construire le reste. Ces trois blocs correspondent à des matrices de mots de Christoffel qui se trouvent dans des niveaux plus proches de la racine de l'arbre des mots de Christoffel. La valeur maximale de cette nouvelle matrice U_w est appelée équilibre du second ordre. En regardant les chemins qui minimisent cette valeur tout au long de l'arbre, on remarque que le chemin suivi par les fractions obtenues du rapport des nombres consécutifs de la suite de Fibonacci, appelé chemin de Zig-zag est l'un des chemins minimaux. On retrouve ces chemins géométriquement sur le chemin de Christoffel en introduisant une nouvelle factorisation pour les mots de Christoffel appelée la factorisation standard symétrique. Nous avons, également, pu trouver une relation directe entre la matrice U_w et le mot de Christoffel initial sans passer par la matrice B_w et cela en étudiant l'ensemble des vecteurs abéliens associés. Tout ce travail nous a permis de réfléchir au sujet initial qui est la synchronisation de k mots équilibrés. Ainsi, pour le cas de 3 générateurs, nous avons pu étudier tous les cas possibles de la synchronisation et une discussion bien détaillée est faite en utilisant un nouvel élément appelé la graine qui est la première colonne de la matrice de synchronisation. La matrice du second ordre d'équilibre, avec toutes ses propriétés va être un bon outil pour étudier la synchronisation de k générateurs et cela constitut mon projet de recherche dans le futur. Nous avons aussi utilisé toutes nos connaissances autour des mots de Christoffel pour avancer dans la reconstruction de polyominoes convexes. Comme le contour d'un tel polyomino est formé des mots de Christoffel de pentes décroissantes, on a introduit un nouvel opérateur qui modifie ce chemin tout en gardant la décroissance des pentes c'est-à-dire en conservant la convexité qui est un premier pas vers la reconstruction.


  • Résumé

    Many researchers have been interested in studying Combinatorics on Words in theoretical andpractical points of view. Many families of words appeared during these years of research some ofthem are infinite and others are finite. In this thesis, we are interested in Christoffel words andwe introduce the Lyndon words and Standard sturmian words. We give numerous properties forthis type of words and we stress on the main one which is the order of balancedness. Well, itis known that Christoffel words are balanced words on two letters alphabet, where these wordsare exactly the discretization of line segments of rational slope. Christoffel words are consideredalso in the topic of synchronization of k process by a word on a k letter alphabet with a balanceproperty in each letter. For k = 2, we retrieve the usual Christoffel words. While for k > 2, thesituation is more complicated and lead to the Fraenkel’s conjecture that is an open conjecturefor more than 40 years. Since it is not easy to solve this conjecture, we were interested in findingsome tools that get us close to this conjecture. A balance matrix B w is introduced, where wis a Christoffel word, and the maximal value of this matrix is the order of balancedness of thebinary word. Since Christoffel words are one balanced then the maximal value obtained in thismatrix is equal to 1 and all the rows of this matrix is made of binary words. Testing again thebalancedness of these rows, a new matrix arises, called second order balance matrix. This matrixhas lot of characteristics and many symmetries and specially the way it is constructed since it ismade of 9 blocks where three of them belong to some particular Christoffel words appearing insome levels closer to the root of the Christoffel tree. The maximal value of this matrix is calledthe second order of balancedness for Christoffel words. From this matrix and this new orderof balancedness, we were able to show that the path followed by the fractions obtained fromthe ratio of the consecutive elements of Fibonacci sequence is a minimal path in the growth ofthis second order. In addition to that, these blocks are geometrically found on the Christoffelpath, by introducing a new factorization for the Christoffel words, called Symmetric standardfactorization. Similarly, we worked on finding a direct relation between the second order balancematrix U w and the initial Christoffel word without passing by the balance matrix B w but bystudying the set of factors of abelian vectors. All this work allow us to think about the initialtopic of research which is the synchronization of k balanced words. A complete study for the casek = 3 is given and we have discussed all the possible sub-cases for the synchronization by givingits seed, which is the starting column of the synchronized matrix. The second order balancematrix, with all its properties and decompositions form a good tool to study the synchronizationfor k generators that will be my future project of research. We have tried to use all the knowledgewe apply them on the reconstruction of digital convex polyominoes. Since the boundary wordof the digital convex polyominoe is made of Christoffel words with decreasing slopes. Hencewe introduce a split operator that respects the decreasing order of the slopes and therefore theconvexity is always conserved that is the first step toward the reconstruction.


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