Groupe de Picard des groupes unipotents sur un corps quelconque

Picard groups of unipotent algebraic groups over an arbitrary field

• Auteur / Autrice : Raphaël Achet
• Direction : Michel Brion
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Soutenance le 25/09/2017
• Etablissement(s) : Université Grenoble Alpes (ComUE)
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Mathématiques, sciences et technologies de l'information, informatique (Grenoble ; 1995-....)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Institut Fourier (Grenoble, Isère, France ; 1973-....)
• Jury : Président / Présidente : Lucy Moser-Jauslin
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Jean Fasel, Anne Moreau
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Philippe Gille, Burt Totaro

Mots clés

Mots clés contrôlés

Picard, Groupes de

Mots clés libres

Groupe algébrique unipotent

Groupe de Picard

Torseur

Foncteur de Picard

Corps non parfait

Formes de l'espace affine

Unipotent Algebraic group

Picard group

Torsor

Picard functor

Imperfect field

Forms of the affine space

Résumé

Soit k un corps quelconque. Dans cette th±se, on étudie le groupe de Picard des k-groupes algébriques unipotents (lisses et connexes).Tout k-groupe algébrique unipotent est extension itérée de formes du groupe additif; on va donc d'abord s'intéresser au groupe de Picard des formes du groupe additif. L'étude de ce groupe est faite avec une méthode géométrique qui permet de traiter le cas plus général des formes de la droite affine. On obtient ainsi une borne explicite sur la torsion du groupe de Picard desformes de la droite affine et sur la torsion de la composante neutre du foncteur de Picard de leur complétion régulière. De plus, on trouve une condition suffisante pour que le groupe de Picard d'une forme de la droite affinesoit non trivial et on construit des exemples de formes non triviales de la droite affine dont le groupe de Picard est trivial.Un k-groupe algébrique unipotent est une forme de l'espace affine. Afin d'étudier le groupe de Picard d'une forme X de l'espace affine avec une méthode géométrique, on définit un foncteur de Picard ''restreint''. On montre que si X admet une complétion régulière, alors le foncteur de Picard ''restreint'' est représentable par un k-groupe unipotent (lisse, non nécessairement connexe).Avec ce foncteur de Picard ''restreint'' et des raisonnements purement géométriques, on obtient que le groupe de Picard d'une forme unirationnelle de l'espace affine est fini. De plus, on généralise un résultat dû à B. Totaro: si k est séparablement clos, et si le groupe de Picard d'un k-groupe algébrique unipotent commutatif est non trivial, alors il admet une extension non triviale par le groupe multiplicatif.

Let k be any field. In this Ph.D. dissertation we study the Picard group of the (smooth connected) unipotent k-algebraic groups.As every unipotent algebraic group is an iterated extension of forms of the additive group, we will study the Picard group of the forms of the additive group. In fact we study the Picard group of forms of the additive group and the affine line simultaneously using a geometric method. We obtain anexplicit upper bound on the torsion of the Picard group of the forms of the affine line and their regular completion, and a sufficient condition for the Picard group of a form of the affine line to be nontrivial. We also give examples of nontrivial forms of the affine line with trivial Picard groups.In general, a unipotent k-algebraic group is a form of the affine n-space. In order to study the Picard group of a form X of the affine n-space with a geometric method, we define a ''restricted'' Picard functor; we show that if X admits a regular completion then the ''restricted'' Picard functor is representable by a unipotent k-algebraic group (smooth, not necessarly connected). With this ''restricted'' Picard functor and geometric arguments we show that the Picard group of a unirational form of the affine n-space is finite. Moreover we generalise a result of B. Totaro: if k is separablyclosed and if the Picard group of a unipotent k-algebraic group is nontrivial then it admits a nontrivial extension by the multiplicative group.