Thèse soutenue

Groupe de Picard des groupes unipotents sur un corps quelconque
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Auteur / Autrice : Raphaël Achet
Direction : Michel Brion
Type : Thèse de doctorat
Discipline(s) : Mathématiques
Date : Soutenance le 25/09/2017
Etablissement(s) : Université Grenoble Alpes (ComUE)
Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale mathématiques, sciences et technologies de l'information, informatique (Grenoble ; 199.-....)
Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Institut Fourier (Grenoble)
Jury : Président / Présidente : Lucy Moser-Jauslin
Examinateurs / Examinatrices : Jean Fasel, Anne Moreau
Rapporteurs / Rapporteuses : Philippe Gille, Burt Totaro

Mots clés

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Résumé

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Soit k un corps quelconque. Dans cette th±se, on étudie le groupe de Picard des k-groupes algébriques unipotents (lisses et connexes).Tout k-groupe algébrique unipotent est extension itérée de formes du groupe additif; on va donc d'abord s'intéresser au groupe de Picard des formes du groupe additif. L'étude de ce groupe est faite avec une méthode géométrique qui permet de traiter le cas plus général des formes de la droite affine. On obtient ainsi une borne explicite sur la torsion du groupe de Picard desformes de la droite affine et sur la torsion de la composante neutre du foncteur de Picard de leur complétion régulière. De plus, on trouve une condition suffisante pour que le groupe de Picard d'une forme de la droite affinesoit non trivial et on construit des exemples de formes non triviales de la droite affine dont le groupe de Picard est trivial.Un k-groupe algébrique unipotent est une forme de l'espace affine. Afin d'étudier le groupe de Picard d'une forme X de l'espace affine avec une méthode géométrique, on définit un foncteur de Picard "restreint". On montre que si X admet une complétion régulière, alors le foncteur de Picard "restreint" est représentable par un k-groupe unipotent (lisse, non nécessairement connexe).Avec ce foncteur de Picard "restreint" et des raisonnements purement géométriques, on obtient que le groupe de Picard d'une forme unirationnelle de l'espace affine est fini. De plus, on généralise un résultat dû à B. Totaro: si k est séparablement clos, et si le groupe de Picard d'un k-groupe algébrique unipotent commutatif est non trivial, alors il admet une extension non triviale par le groupe multiplicatif.