Méthodes algorithmiques pour les réseaux algébriques

Algorithmic methods for algebraic lattices

• Auteur / Autrice : Thomas Camus
• Direction : Philippe Elbaz-Vincent
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Soutenance le 10/07/2017
• Etablissement(s) : Université Grenoble Alpes (ComUE)
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale mathématiques, sciences et technologies de l'information, informatique (Grenoble ; 199.-....)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Institut Fourier (Grenoble)
• Jury : Président / Présidente : Damien Stehlé
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Gabriele Nebe, Roland Bacher, Renaud Coulangeon, Graham Ellis
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Karim Belabas, Paul E. Gunnells

Mots clés

Mots clés contrôlés

Isométrie (mathématiques)

Anneaux d'entiers

Algorithmes

Mots clés libres

Méthode algorithmique

Réseau algébrique

Isométrie

Automorphisme

Forme de Humbert

Algorithm

Algebraic lattice

Isometry

Automorphism

Humbert form

Résumé

Les travaux présentés dans ce mémoire concernent les réseaux, qui sont des objets mathématiques fondamentaux pour de nombreux domaines tel que théorie des nombres et la cryptographie.Nous proposons dans un premier temps une généralisation et une implantation de l'algorithme de réduction de Lenstra, Lenstra et Lov'asz (algorithme LLL) dans le cadre algébrique simple des réseaux sur les anneaux d'entiers quadratiques, imaginaires et euclidiens.Nous nous attachons ensuite à présenter les notions de réseaux algébriques et de formes de Humbert, qui sont des généralisations dans un cadre algébrique aussi large que possible des notions classiques de réseaux euclidiens et de formes quadratiques. L'introduction de ces objets nous permet de présenter une adaptation et une implantation de l'algorithme de Plesken et Souvignier permettant de traiter efficacement les problèmes de l'isométrie et de la détermination des automorphismes pour les réseaux algébriques.Nous proposons finalement une étude détaillée de la complexité de ces deux problèmes. Nous montrons notamment qu'ils sont intiment reliés à des problèmes similaires sur les graphes. Cette réduction nous permet d'exhiber des bornes de complexité inédites.

This thesis deals with lattices, which are fundamental objects in many fields, such as number theory and cryptography.As a first step, we propose a generalization and an implantation of the Lenstra, Lenstra and Lov'asz algorithm (LLL algorithm) in the simple algebraic setting of lattices over quadratic imaginary and euclidean ring of integers.Then, we present the notions of algebraic lattices and Humbert forms, which are extensions of euclidean lattices and quadratic forms in a large algebraic setting. Introducing these objects leads us to develop and implant modifications of the Plesken and Souvignier algorithm. This algorithm efficiently solves the isometric lattices problem and the automorphism group computation problem for algebraic lattices.Eventually, we analyze in depth the complexity of this two algorithmic problems. We show that they are intimately related to similar problems on graphs. This reduction leads us to express unprecedented complexity bounds.