Étude mathématique et numérique pour le modèle Darcy-Brinkman pour les écoulements diphasiques en milieu poreux

Mathematical and numerical study of Darcy-Brinkman’s two phase flow through a porous media

• Auteur / Autrice : Houssein Nasser El Dine
• Direction : Mazen Samir Saad, Raafat Talhouk
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques et leurs interactions
• Date : Soutenance le 26/09/2017
• Etablissement(s) : Ecole centrale de Nantes en cotutelle avec Université Libanaise. Faculté des Sciences (Beyrouth, Liban)
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Mathématiques et sciences et technologies de l'information et de la communication (Rennes)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Laboratoire de Mathématiques Jean Leray (Nantes)
• Jury : Président / Présidente : Charles-Henri Bruneau
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Mazen Samir Saad, Raafat Talhouk, Charles-Henri Bruneau, Didier Bresch, Mladen Jurak, Mostafa Bendahmane, Mustapha Ghilani, Frédéric Alain Grondin
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Didier Bresch, Mladen Jurak

Mots clés

Mots clés contrôlés

Écoulement diphasique

Éléments finis, Méthode des

Équations de Darcy Brinkman Forchheimer

Gisements pétrolifères

Mots clés libres

Darcy

Brinkman

Milieux poreux

Incompressible

Compressible

Immiscible

Isotrope

Anisotrope

Volumes finis

Éléments finis

Schéma combiné

Systèmes paraboliques dégénérés

Systèmes elliptiques

Systèmes dégénérés

Systèmes couplés non linéaire

Darcy

Brinkman

Porous media

Incompressible

Compressible

Immiscible

Isotropic

Anisotropic

Finite volume

Finite element

Combined scheme

Degenerate parabolic systems

Elliptic systems

Degenerate systems

Nonlinear coupled systems

Résumé

Le système modélisant un écoulement de deux phases incompressibles dans un gisement pétrolier à large porosité est régi par la loi de Darcy-Brinkman. La vitesse de filtration de Darcy conduit à une équation elliptique en pression et une équation parabolique dégénérée en saturation. Ce système est très largement utilisé en milieu poreux. Dans cette thèse, on s’intéresse à la modification de Brinkman qui consiste à modifier la loi de Darcy en ajoutant un terme de dissipation en vitesse. Ce système conduit à une équation elliptique en pression et une équation parabolique non standard en saturation, régularisante en temps. On s’intéresse dans un premier temps à l’étude mathématique du système Darcy-Brinkman et à la régularité des solutions. Afin de simuler numériquement les solutions de ce problème, on propose une première étude de convergence d’un schéma aux volumes finis sur un maillage admissible et pour un milieu poreux homogène. Ensuite, une méthode combinée de type volumes finis-éléments finis non conformes est proposée pour tenir compte de l’anisotropie du milieu. Le but du deuxième volet de cette thèse est de tenir compte de la compressibilité des fluides. On propose de décrire le modèle de Darcy-Brinkman dans le cas monophasique compressible. On montre que ce modèle est bien posé en dimension un d’espace et sur l’espace entier. Ensuite, sous l’hypothèse de Bear, on montre également que le modèle est bien posé en dimension d ≥ 2.

The system modeling a two incompressible phase flow with high porosity in an oil-field is governed by the law of Darcy-Brinkman. The velocity of filtration of Darcy leads to an elliptic equation in pressure and a degenerate parabolic equation in saturation. This system is widely used in porous media. In this thesis, we are interested in the modification of Brinkman which consists in modifying Darcy’s law by adding a viscosity disspative term. This system leads to an elliptic equation in pressure and unstandard parabolic equation in saturation regularized in time. First, we are interested in the mathematical study of the Darcy-Brinkman’s system and in the regularity of the solutions. To simulate numerically the solutions of this problem, we study the convergence of a finite-volume scheme on an admissible mesh for a homogeneous porous media. Then, we propose a combined method of finite volume - nonconforming finite element type to deal with the anisotropic of the media. In the second part of this thesis we deal with the compressibility of the fluids. We suggest a model of Darcy- Brinkman to describe the compressible monophasic case. We show that this model is well posed in dimension one in the whole space. Then, under the hypothesis of Bear, we also show that this model is well posed in dimension d ≥ 2.