Thèse soutenue

Deux exemples d'algèbres de Hopf d'extraction-contraction : mots tassés et diagrammes de dissection
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Auteur / Autrice : Cécile Mammez
Direction : Loïc Foissy
Type : Thèse de doctorat
Discipline(s) : Mathématiques. Combinatoire algébrique
Date : Soutenance le 27/11/2017
Etablissement(s) : Littoral
Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Sciences pour l'ingénieur (Lille)
Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Laboratoire de mathématiques pures et appliquées (Calais, Pas de Calais) - Laboratoire de Mathématiques Pures et Appliquées Joseph Liouville / LMPA
Jury : Président / Présidente : Frédéric Patras
Examinateurs / Examinatrices : Loïc Foissy, Claudia Malvenuto, Dominique Manchon, Shalom Eliahou, Jean Fromentin, Jean-Christophe Novelli
Rapporteurs / Rapporteuses : Claudia Malvenuto, Dominique Manchon

Résumé

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Ce manuscrit est consacré à l'étude de la combinatoire de deux algèbres de Hopf d'extraction-contraction. La première est l'algèbre de Hopf de mots tassés WMat introduite par Duchamp, Hoang-Nghia et Tanasa dont l'objectif était la construction d'un modèle de coproduit d'extraction-contraction pour les mots tassés. Nous expliquons certains sous-objets ou objets quotients ainsi que des applications vers d'autres algèbres de Hopf. Ainsi, nous considérons une algèbre de permutations dont le dual gradué possède un coproduit de déconcaténation par blocs et un produit de double battage décalé. Le double battage engendre la commutativité de l'algèbre qui est donc distincte de celle de Malvenuto et Reutenauer. Nous introduisons également une algèbre de Hopf engendrée par les mots tassés de la forme x₁...x₁. Elle est isomorphe à l'algèbre de Hopf des fonctions symétriques non commutatives. Son dual gradé est donc isomorphe à l'algèbre de Hopf des fonctions quasi-symétriques. Nous considérons également une algèbre de Hopf de compositions et donnons son interprétation en termes de coproduit semi-direct d'algèbres de Hopf. Le deuxième objet d'étude est l'algèbre de Hopf de diagrammes de dissection HD introduite par Dupont en théorie des nombres. Nous cherchons des éléments de réponse concernant la nature de sa cogèbre sous-jacente. Est-elle colibre ? La dimension des éléments primitifs de degré 3 ne permet pas de conclure. Le cas du degré 5 permet d'établir la non-coliberté dans le cas où le paramètre de HD vaut - 1. Nous étudions également la structure pré-Lie du dual gradué HD. Nous réduisons le champ de recherche à la sous-algèbre pré-Lie non triviale engendrée par le diagramme de dissection de degré 1. Cette algèbre pré-Lie n'est pas libre.