Résolutions d'équations d'ondes en dimension quelconque

Resolutions of wave equations in any dimension

• Auteur / Autrice : Réjane Fieschi
• Direction : Jean-Martin Paoli, Alain Hertzog
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Soutenance le 12/12/2017
• Etablissement(s) : Corte
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Environnement et sociéte (Corte ; 2000-....)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Université de Corse (1975-....). UMR CNRS 6134 ''Sciences pour l'Environnement'' (SPE) - Sciences pour l'environnement / SPE
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Alain Hertzog, Philippe G. LeFloch, Mostafa Mbekhta, Catherine Mariotte Ducourtioux, Bernard Di Martino
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Philippe G. LeFloch, Mostafa Mbekhta

Mots clés

Mots clés contrôlés

Riemann, Hypothèse de

Ondes

Équations aux dérivées partielles

Mots clés libres

EDP

Systèmes hyperboliques

Ondes

Dimension quelconque

Problèmes de Riemann

Amortissement

Neurodynamique

EDP

Hyperbolic systems

Wave

N-dimension

Riemann problems

Damping

Neurodynamics

Résumé

Notre sujet de Recherche prend pour objet de départ la résolution d'équations d'ondes en dimension quelconque.Le système considéré permet une approche simplifiée des équations d'Euler compressibles issues de la dynamique des gaz en négligeant les termes quadratiques.Les travaux de Recherche conduits traitent à la fois d'un problème du second ordre, linéaire et non linéaire, à frontière fixe ou à frontière libre, de nature hyperbolique ou de type mixtehyperbolique-elliptique, avec présence ou absence d’un terme d’amortissement, en dimension supérieure ou égale à deux .Dans un premier temps, nos recherches se focalisent sur le cas linéaire en dimension deux et nous conduisent à la résolution d’un problème de Riemann.Ces recherches mettent en évidence deux régions : l’une supersonique, l’autre subsonique où le problème est de type mixte hyperbolique-elliptique.Nos travaux nous permettent de déterminer la solution dans chacune des régions du plan.Cette démarche est ensuite étendue au cas non linéaire, dont la mise en oeuvre suit le modèle des travaux réalisés par K. Jegdic, B. Keyfitz et S. Canic ces dernières années .Des fonctions cut-off sont introduites pour prendre en compte la partie elliptique du problème. Dans ce cas non linéaire, les résultats obtenus complètent les travaux réalisés sur ce thème.Dans un second temps, notre étude est élargie à la résolution d’une équation d’ondes avec terme d’amortissement en dimension supérieure ou égale à deux, qui nous mènera à la mise en place et à la résolution de deux types de problèmes : le problème faible et le problème fort, chacun sera envisagé pour des conditions au bord de type Dirichlet et de type Neumann.Ce type d’équation d’onde avec terme d’amortissement se retrouve notamment en modélisation cérébrale, il s’agit de l’équation de Zhijian.Les résultats obtenus au niveau des solutions faibles et de la solution forte satisfaisant le problème de Dirichlet, permettent de compléter les travaux de M. Jradeh et M. Bergounioux réalisés en dimension un sur ce thème .

The topic of our research is about the resolution of n-dimensional wave equations.The hyperbolic system considered allows us to explore compressible Euler equations without considering quadratic terms ; these equations are implacated in the gaz dynamics .Our Research papers lead us to explore wave systems involving second order PDEs, with linear or nonlinear equations, with fixed or free boundaries, whose problem's nature is even hyperbolic or mixed hyperbolic-elliptic types, with or without damping term, in two-dimension or more .In a first time, our research is focused on the two-dimensional wave equation, in the linear case, and leads us to the resoluton of a Riemann problem .These researches allow us to show the existence of two areas :one supersonic where the solution is constant and the other subsonic where the equation becomes of a mixed hyperbolic-elliptic type .During this first step, we obtain, in the linear case, the solution verified in each area . Then, this work is extended to the nonlinear case by the resolution of a quasi-Riemann problem, where we use recent method obtained by K.Jegdic, B. Keyfitz and S. Canic .We use cut-off fonctions to take into account the elliptic part of the problem in order to try to find find the solution of a free boundary problem .The results obtained in the nonlinear case allow us to progress in the study of this problem .In a second time, our analysis will be focused on n-dimensional wave equations with damping term, which lead us to set the resolution of two problems : the weak resolution problem and the strong resolution problem with two types of boundary conditions for each one : Dirichlet 's conditions and Neumann's conditions .This type of wave equation with damping term is implicated in cerebral activity, described by the Zhijian's equation .The results obtained about Dirichlet's weak and strong solutions, allow us to extend to the two-dimensional case M. Jradeh's and M. Bergounioux's works set up for the one dimensional case.