Propriétés génériques des mesures invariantes en courbure négative

Generic properties of invariant measures in negative curvature

• Auteur / Autrice : Kamel Belarif
• Direction : Yves Coudène
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Soutenance le 29/08/2017
• Etablissement(s) : Brest
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Santé, information-communication et mathématiques, matière (Brest, Finistère)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Laboratoire de mathématiques de Bretagne Atlantique
• Jury : Président / Présidente : François Ledrappier
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Yves Coudène, François Ledrappier, Jérôme Buzzi, Mark Pollicott, Françoise Dal'Bo, Benoît Saussol, Barbara Schapira
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Jérôme Buzzi, Mark Pollicott

Mots clés

Mots clés contrôlés

Systèmes dynamiques

Mesures invariantes

Mots clés libres

Systèmes dynamiques

Flot géodésique

Variétés de courbure négative

Théorie ergodique

Formalisme thermodynamique

Dynamical systems

Geodesic flow

Negatively curved manifolds

Ergodic theory

Thermodynamic formalism

Résumé

Dans ce mémoire, nous étudions les propriétés génériques satisfaites par des mesures invariantes par l’action du flot géodésique {∅t}t∈R sur des variétés M non compactes de courbure sectionnelle négative pincée. Nous nous intéressons dans un premier temps au cas des variétés hyperboliques. L’existence d’une représentation symbolique du flot géodésique pour les variétés hyperboliques convexes cocompactes ainsi que la propriété de mélange topologique du flot géodésique nous permet de démontrer que l’ensemble des mesures de probabilité ∅t−invariantes, faiblement mélangeantes est résiduel dans l’ensemble M1 des mesures de probabilité invariantes par l’action du flot géodésique. Si nous supposons que la courbure de M est variable, nous ignorons si le flot géodésique est topologiquement mélangeant. Ainsi les méthodes utilisées précédemment ne peuvent plus s’adapter à notre situation. Afin de généraliser le résultat précédent, nous faisons appel à des outils issus du formalisme thermodynamique développés récemment par F.Paulin, M.Pollicott et B.Schapira. Plus précisément, la démonstration de notre résultat repose sur la possibilité de construire, pour toute orbite périodique Op une suite de mesures de Gibbs mélangeantes, finies, convergeant faiblement vers la mesure de Dirac supportée sur Op. Nous montrons que ce fait est possible lorsque M est géométriquement finie. Dans le cas contraire, il n’existe pas d’exemple de variétés géométriquement infinies possédant une mesure de Gibbs finie. Cependant, nous conjecturons que ce fait est possible pour toute variété M. Afin de supporter cette affirmation, nous démontrons dans la dernière partie de ce manuscrit un critère de finitude pour les mesures de Gibbs.

In this work, we study the properties satisfied by the probability measures invariant by the geodesic flow {∅t}t∈R on non compact manifolds M with pinched negative sectional curvature. First, we restrict our study to hyperbolic manifolds. In this case, ∅t is topologically mixing in restriction to its non-wandering set. Moreover, if M is convex cocompact, there exists a symbolic representation of the geodesic flow which allows us to prove that the set of ∅t-invariant, weakly-mixing probability measures is a dense Gδ−set in the set M1 of probability measures invariant by the geodesic flow. The question of the topological mixing of the geodesic flow is still open when the curvature of M is non constant. So the methods used on hyperbolic manifolds do not apply on manifolds with variable curvature. To generalize the previous result, we use thermodynamics tools developed recently by F.Paulin, M.Pollicott et B.Schapira. More precisely, the proof of our result relies on our capacity of constructing, for all periodic orbits Op a sequence of mixing and finite Gibbs measures converging to the Dirac measure supported on Op. We will show that such a construction is possible when M is geometrically finite. If it is not, there are no examples of geometrically infinite manifolds with a finite Gibbs measure. We conjecture that it is always possible to construct a finite Gibbs measure on a pinched negatively curved manifold. To support this conjecture, we prove a finiteness criterion for Gibbs measures.