split jacobians and lower bounds on heights

par Martin Djukanovic

Thèse de doctorat en Mathematiques pures

Sous la direction de Fabien Mehdi Pazuki et de Robin De‎ Jong.

Soutenue le 01-11-2017

à Bordeaux en cotutelle avec l'Universiteit Leiden (Leyde, Pays-Bas) , dans le cadre de École doctorale de mathématiques et informatique (Talence, Gironde) , en partenariat avec Institut de mathématiques de Bordeaux (équipe de recherche) .

Le président du jury était Nils Bruin.

Les rapporteurs étaient Marc Hindry, Evelina Viada.

  • Titre traduit

    jacobiennes décomposées et minoration de hauteurs


  • Résumé

    Cette thèse concerne des propriétés des variétés jacobiennes de courbes de genre 2 qui couvrent des courbes elliptiques. Soit E une courbe plane, donnée par une équation y^2=F(x), où F(x)=x^3+a2x^2+a1x+a0 est un polynôme à coefficients rationnels, qui a trois racines distinctes. Pour des raisons historiques, une telle courbe est appelée courbe elliptique. On sait que toute courbe elliptique E peut être équipée d'une structure de groupe commutatif - on peut additionner et soustraire ses points. Un point O « à l'infini », qui est contenu dans toutes les droites verticales (droites de la forme x=c), est l'élément neutre. Cette structure de groupe est décrite par la condition que trois points P,Q,R sur E satisfont P+Q+R=O si et seulement s'ils sont alignés. Les surfaces avec une structure de groupe commutatif sont appelées abéliennes. Par exemple, un produit de deux courbes elliptiques E1xE2 est une surface abélienne, de façon évidente. Considérons maintenant une courbe plane C donnée par une équation y^2=G(x), où G(x)=x^6+b5x^5+b4x^4+b3x^3+b2x^2+b1x+b0 est un polynôme à coefficients rationnels, qui a six racines distinctes. La courbe C est appelée hyperelliptique et n'a pas de structure de groupe. Par contre, nous pouvons lui associer, d'une façon naturelle, une surface abélienne Jac(C), appelée la jacobienne de C. En plus, nous pouvons plonger C dans Jac(C). Certaines courbes hyperelliptiques sont spéciales car elles couvrent des courbes elliptiques. Par exemple, considérons une courbe C donnée par l'équation y^2=x^6+ax^4+bx^2+c, dans laquelle seulement des puissances paires de x apparaissent. Si (x,y) est un point de cette courbe alors de même (-x,y), et nous pouvons définir une application algébrique f:(x,y)->(x^2,y) de degré 2, c'est-à-dire, de fibre générale à deux points. Alors (X,Y)=(x^2,y) est un point de la courbe elliptique E donnée par Y^2=X^3+aX^2+bX+c et nous disons que C est un revêtement double de E. Si E1 est une courbe elliptique, si C est une courbe hyperelliptique, et si C->E1 est un revêtement de degré n qui n'est pas une composition de revêtements, alors nous pouvons plonger E1 dans la surface Jac(C) comme un sous-groupe. De plus, il existe une autre courbe elliptique E2 et un revêtement C->E2 de degré n, tel que la surface Jac(C) a une propriété spéciale - elle peut être obtenue comme quotient de la surface E1xE2 par un sous-groupe fini. Le chapitre 1 de cette thèse traite les aspects géométriques de cette situation. Nous cherchons à savoir quelles courbes peuvent avoir une telle relation et nous nous concentrons surtout sur les cas n=2 et n=3, qui ont déjà été analysés dans la littérature. Dans le cas général, nous obtenons quelques résultats, mais une description complète s'avère très difficile de manière explicite. Le chapitre 2 traite les aspects arithmétiques de la situation, via la théorie des fonctions hauteurs, qui sont un outil très utile pour répondre à des questions concernant des points rationnels de courbes et surfaces. Pour tout nombre rationnel x=a/b, avec a et b des entiers premiers entre eux, on définit la hauteur h(x) de x, de façon très précise, comme une mesure de sa complexité arithmétique - la hauteur dit approximativement combien de chiffres sont nécessaires pour écrire les entiers a et b. De la même façon, la hauteur d'un point rationnel d'une courbe ou surface nous dit combien de chiffres ont les coordonnées. Par exemple, (3,5) et (1749/1331,-1861/1331) sont deux points rationnels de complexités plutôt différentes de la courbe y^2=x^3-x+1, tandis que (2,√7) n'est pas un point rationnel. Il est possible d'attacher une hauteur aux courbes elliptiques et aux surfaces abéliennes qui mesure leur complexité arithmétique totale. Une relation spécifique entre ces deux notions de hauteur est alors conjecturée et nous étudions cette conjecture dans la situation décrite plus haut. Nous montrons que cette relation est vraie pour E1xE2 si et seulement si elle est vraie pour Jac(C).


  • Résumé

    This thesis deals with properties of Jacobians of genus two curves that cover elliptic curves. Let E be a curve in the plane, given by an equation y^2=F(x), where F(x)=x^3+a2x^2+a1x+a0 is a polynomial with rational coefficients and with three distinct roots. For historical reasons, such a curve is known as an elliptic curve. It is known that every elliptic curve E can be equipped with a structure of a commutative group - its points can be added and subtracted. A point O "at infinity", which is contained in all vertical lines (lines of form x=c), is the neutral element. This group structure is described by the condition that three points P,Q,R in E satisfy P+Q+R=O if and only if they are collinear. Surfaces with a commutative group structure are called abelian. For example, a product of two elliptic curves E1xE2 is an abelian surface in the obvious way. Next we consider a planar curve C given by an equation y^2=G(x), where G(x)=x^6+b5x^5+b4x^4+b3x^3+b2x^2+b1x+b0 is a polynomial with rational coefficients and six distinct roots. The curve C is called hyperelliptic and it does not have a group structure. However, we can associate to it, in a natural way, an abelian surface Jac(C), called the Jacobian of C. Moreover, we can embed C into it. Some hyperelliptic curves, of the form y^2=G(x) as above, are special because they cover elliptic curves. For example, consider a curve C given by y^2=x^6+ax^4+bx^2+c, so that only even powers of x appear. If (x,y) is a point on this curve then so is (-x,y) and we can define an algebraic map f:(x,y)->(x^2,y), that is of degree 2, i.e. 2-to-1. Now (X,Y)=(x^2,y) is a point on the elliptic curve E given by Y^2=X^3+aX^2+bX+c and we say that C is a double cover of E. If E1 is an elliptic curve, C is a hyperelliptic curve, and C->E1 is an n-to-1 covering that is not a composition of coverings, then we can embed E1 into the surface Jac(C) as a subgroup. Moreover, there exists another elliptic curveE2 and an n-to-1 covering C->E2, such that the surface Jac(C) has a special property - it can be obtained as the quotient of the surface E1xE2 by a finite subgroup. The first chapter of the thesis deals with the geometric aspects of this setup. We investigate which curves can form this special relationship and we focus mostly on the cases n=2 and n=3, which have already been analysed in literature. We also gain some insight into the general case, but a full description proves to be very difficult computationally. The second chapter deals with the arithmetic aspects of the setup, via the theory of height functions, which are a very useful tool in answering questions about rational points on curves and surfaces. For every rational number x=a/b, where a and b are coprime integers, one can define its height h(x), in a very precise way, as a measurement of its arithmetic complexity - the height roughly tells us how many digits are needed to write down the integers a and b. Likewise, the height of a rational point on a curve or surface tells us about the number of digits of the coordinates. For example, (3,5) and (1749/1331,-1861/1331) are two rational points of rather different complexity on the curve y^2=x^3-x+1, while (2,√7) is not a rational point. It is also possible to associate a height to an elliptic curve or an abelian surface and measure its arithmetic complexity as a whole. A specific relation between these two heights is conjectured and we investigate it in the context of the setup above. We show that this relation holds for E1xE2 if and only if it holds for Jac(C).


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