Sur quelques questions en théorie d'Iwasawa

On some questions in Iwasawa theory

• Auteur / Autrice : José Ibrahim Villanueva Gutiérrez
• Direction : Jean-François Jaulent
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques pures
• Date : Soutenance le 30/06/2017
• Etablissement(s) : Bordeaux
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale de mathématiques et informatique (Talence, Gironde ; 1991-....)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Institut de mathématiques de Bordeaux
• Jury : Président / Présidente : Christian Maire
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Christian Maire, Cornelius Greither, Jean-Robert Belliard, Chazad Movahhedi, Florence Soriano-Gafiuk, Karim Belabas, Yuri Bilu, Antonio Lei
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Cornelius Greither, Jean-Robert Belliard

Mots clés

Mots clés contrôlés

Corps de classe

Logarithmes

Théorie des nombres algébriques

Théorie d'Iwasawa

Mots clés libres

Théorie algébrique de nombres

Arithmétique logarithmique

Théorie d’Iwasawa

Théorie l-adique du corps de classes

Algebraic number theory

Logarithmic arithmetic

Iwasawa’s theory

L- adic class field theory

Teoría algebraica de números

Aritmética logarítmica

Teoría de Iwasawa

Teoría l-ádica de campos de clases

Résumé

Ce travail de thèse comporte l'étude des invariants logarithmiques le long des ℤℓ^{d}-extensions et se compose de trois parties étroitement reliées. La première partie est un compendium sur les divers approches à l'arithmétique algorithmique, c'est à dire l'étude générale des invariants logarithmiques. En particulier on y présente quatre définitions équivalentes du groupe de classes logarithmiques et on y démontre leur équivalence. On donne aussi une preuve alternative d'un théorème d'Iwasawa de type logarithmique. La deuxième partie s'interprète comme un addendum historique sur l'étude du groupe de classes logarithmiques le long des ℤℓ-extensions. On démontre que sous la conjecture de Gross-Kuz'min la théorie d'Iwasawa peut être bien employée pour l'étude du cas non-cyclotomique. Ainsi, on démontre des relations entre les invariants µ et λ correspondant au ℓ-groupe de classes avec les invariants μ~ et λ~ attachés aux groupes de classes logarithmiques. La troisième partie comporte l'étude du module d'Iwasawa logarithmique pour des ℤℓ^{d}-extensions, c'est à dire du groupe de Galois X=Gal(Ld/Kd) de la ℓ-extension maximale abélienne logarithmiquement non-ramifiée du compositum Kd des différentes ℓ-extensions d'un corps de nombres K. On démontre sous la conjecture de Gross-Kuz'min, de façon analogue au cas classique, que X est bien un module noethérien et de torsion sous l'algèbre d'Iwasawa de Kd. Ainsi, on déduit des relations entre les invariants logarithmiques μ~ et λ~ des ℤℓ-extensions de K qui satisfont une hypothèse de décomposition.

This work is concerned with the study of logarithmic invariants on ℤℓ^{d}-extensions and is subdivided in three pieces, which are closely related to each other. The first part is a compendium of the different approaches to logarithmic arithmetic, that is the study of the logarithmic invariants. In particular we show the equivalence between the four definitions of the logarithmic class group existing in the literature. Also we give an alternative proof of an Iwasawa logarithmic result. The second part can be thought as an historic addendum on the study of the logarithmic class group over ℤℓ-extensions. Assuming the Gross-Kuz'min conjecture we show that the logarithmic class group can be studied in the Iwasawa setting for non-cyclotomic extensions. We also give relations between the classical µ and λ invariants and the logarithmic invariants μ~ and λ~ attached to the logarithmic class groups. The third part studies the properties of the Iwasawa logarithmic module for ℤℓ^{d}-extensions, that is the Galois group X=Gal(Ld/Kd) of the maximal abelian ℤℓ-extension logarithmically unramified of the compositum Kd of the different ℤℓ-extensions of a number field K. Assuming the Gross-Kuz'min conjecture we show that X is a noetherian torsion module over the Iwasawa algebra of Kd. We also deduce relations between the logarithmic invariants μ~ and λ~ of the ℤℓ-extensions of K which satisfy a splitting condition.