Thèse soutenue

Graphes planaires : dessins non-alignés, domination de puissance et énumération d’orientations Eulériennes

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Auteur / Autrice : Claire Pennarun
Direction : Nicolas BonichonPaul Dorbec
Type : Thèse de doctorat
Discipline(s) : Informatique
Date : Soutenance le 14/06/2017
Etablissement(s) : Bordeaux
Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Mathématiques et informatique (Talence, Gironde ; 1991-....)
Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Laboratoire bordelais de recherche en informatique
Jury : Président / Présidente : Nadia Brauner
Examinateurs / Examinatrices : Nicolas Bonichon, Paul Dorbec, Nadia Brauner, Eric Fusy, Michael A. Henning, Mireille Bousquet-Mélou
Rapporteurs / Rapporteuses : Eric Fusy, Michael A. Henning

Mots clés

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Mots clés contrôlés

Résumé

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Dans cette thèse, nous présentons trois problèmes concernant les graphes planaires.Nous travaillons tout d'abord sur les dessins planaires non-alignés, c'est-à-dire des dessins planaires de graphes sur une grille sans que deux sommets se trouvent sur la même ligne ou la même colonne.Nous caractérisons les graphes planaires possédant un tel dessin sur une grille de taille n x n, et nous présentons deux algorithmes générant un dessin planaire non-aligné avec arêtes brisées sur cette grille pour tout graphe planaire, avec n-3 ou min((2n-3)/(5),#{triangles séparateurs}+1) brisures au total.Nous proposons également deux algorithmes dessinant un dessin planaire non-aligné sur des grilles d'aire O(n⁴). Nous donnons des résultats spécifiques concernant les graphes 4-connexes et de type triangle-emboîté.Le second sujet de cette thèse est la domination de puissance dans les graphes planaires. Nous exhibons une famille de graphes ayant un nombre de domination de puissance γP au moins égal à n/6. Nous montrons aussi que pour tout graphe planaire maximal G à n≥6 sommets, γP(G) ≤ (n-2)/4. Enfin, nous étudions les grilles triangulaires Tk à bord hexagonal de dimension k et nous montrons que γP(Tk) = [k/3]. Nous étudions également l'énumération des orientations planaires Eulériennes. Nous proposons une nouvelle décomposition de ces cartes. En considérant les orientations des dernières 2k-1 arêtes autour de la racine, nous définissons des sous- et sur-ensembles des orientations planaires Eulériennes paramétrés par k.Pour chaque classe, nous proposons un système d'équations fonctionnelles définissant leur série génératrice, et nous prouvons que celle-ci est toujours algébrique. Nous montrons ainsi que la constance de croissance des orientations planaires Eulériennes est entre 11.56 et 13.005.