Analyse spectrale des systèmes d'opérateurs h-pseudodifférentiels

Spectral analysis of systems of h-pseudodifferential operators

• Auteur / Autrice : Marouane Assal
• Direction : Mouez Dimassi
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathematiques pures
• Date : Soutenance le 12/05/2017
• Etablissement(s) : Bordeaux
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Mathématiques et informatique (Talence, Gironde ; 1991-....)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Institut de mathématiques de Bordeaux
• Jury : Président / Présidente : Alain Bachelot
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Mouez Dimassi, Alain Bachelot, Thierry Jecko, Karel Pravda-Starov, Jean-François Bony, Vesselin Petkov, Xue-Ping Wang, Maher Zerzeri
• Jury : Rapporteur / Rapporteuse : Thierry Jecko, Karel Pravda-Starov

Mots clés

Mots clés contrôlés

Théorème d'Egorov

Formules de trace

Schrödinger, Opérateur de

Théorie spectrale (mathématiques)

Opérateurs pseudo-différentiels

Mots clés libres

Systèmes d’opérateurs h-pseudodifférentiels

Théorème d’Egorov en temps longs

Fonction de décalage spectral

Opérateurs de Schrödinger à potentiels matriciels

Formules de trace

Asymptotiques spectrales

Fonction fuite

Systems of h-pseudodifferential operators

Long time Egorov theorem

Spectral shift function

Schrödinger operators with matrix-valued potentials

Trace formulas

Spectral asymptotics

Escape function

Résumé

Dans ce travail, nous nous intéressons à l’analyse spectrale des systèmes d’opérateurs pseudodifférentiels semi-classiques. Dans la première partie, nous étudions la généralisation du théorème d’Egorov en temps longs dans le cas où l’Hamiltonien quantique qui génère l’évolution en temps et l’observable quantique initiale sont deux opérateurs pseudodifférentiels semiclassiques associés à des symboles à valeurs matricielles. Sous une condition d’hyperbolicité sur le symbole principal de l’Hamiltonien qui assure l’existence des projecteurs semi-classiques, et pour une classe d’observables ''semi-classiquement'' diagonales par blocs par rapport à ces projecteurs, nous démontrons un théorème de type Egorov valable pour un temps long d’ordre log(h-1) connu comme le temps d’Ehrenfest. Ici h 0 est le paramètre semi-classique. Dans la deuxième partie, nous nous intéressons à la théorie spectrale et la théorie de la diffusion pour des systèmes d’opérateurs pseudodifférentiels auto-adjoints. Nous développons une approche stationnaire pour l’étude de la fonction de décalage spectral associée à une paire d’opérateurs de Schrödinger semi-classiques à potentiels matriciels. Une asymptotique de type Weyl avec reste optimal sur la fonction de décalage spectral est établie, et sous l’hypothèse d’existence d’une fonction fuite scalaire, un développement asymptotique complet en puissancesde h au sens fort sur sa dérivée est obtenu. Ce dernier résultat est une généralisation au cas matriciel d’un résultat de Robert et Tamura établi dans le cas scalaire près des énergies non-captives. Notre méthode indépendante du temps nous permet de traiter certains potentiels avec des croisements des valeurs propres.

In this work, we are interested in the spectral analysis of systems of semiclassical pseudodifferentialoperators. In the first part, we study the extension of the long time semiclassical Egorovtheorem in the case where the quantum Hamiltonian which generates the time evolution andthe initial quantum observable are two semiclassical pseudodifferential operators with matrixvaluedsymbols. Under an hyperbolicity condition on the principal symbol of the Hamiltonianwhich ensures the existence of the semiclassical projections, and for a class of observable thatare ''semi-classically'' block-diagonal with respect to these projections, we prove an Egorov theoremvalid in a large time interval of order log(h-1) known as the Ehrenfest time. Here h & 0is the semiclassical parameter.In the second part, we are interested in the spectral and scattering theories for self-adjointsystems of pseudodifferential operators. We develop a stationary approach for the study of thespectral shift function (SSF) associated to a pair of self-adjoint semiclassical Schrödinger operatorswith matrix-valued potentials. We prove a Weyl-type asymptotics with sharp remainderestimate on the SSF, and under the existence of a scalar escape function, a pointwise completeasymptotic expansion on its derivative. This last result is a generalisation in the matrix-valuedcase of a result of Robert and Tamura established in the scalar case near non-trapping energies.Our time-independent method allows us to treat certain potentials with energy-level crossings