L’analyse spectrale des graphes aléatoires et son application au groupement et l’échantillonnage
Auteur / Autrice : | Arun Kadavankandy |
Direction : | Konstantin Avrachenkov, Laura Cottatellucci |
Type : | Thèse de doctorat |
Discipline(s) : | Informatique |
Date : | Soutenance le 18/07/2017 |
Etablissement(s) : | Université Côte d'Azur (ComUE) |
Ecole(s) doctorale(s) : | École doctorale Sciences et technologies de l'information et de la communication (Nice ; 1992-....) |
Partenaire(s) de recherche : | établissement de préparation : Université de Nice (1965-2019) |
Laboratoire : Institut national de recherche en informatique et en automatique (France). Unité de recherche (Sophia Antipolis, Alpes-Maritimes) - Network Engineering and Operations | |
Jury : | Président / Présidente : Alain Jean-Marie |
Examinateurs / Examinatrices : Konstantin Avrachenkov, Laura Cottatellucci, Alain Jean-Marie, Bruce Hajek, Marc Lelarge, Pawel Pralat | |
Rapporteurs / Rapporteuses : Bruce Hajek, Marc Lelarge |
Mots clés
Résumé
Dans cette thèse, nous étudions les graphes aléatoires en utilisant des outils de la théorie des matrices aléatoires et l’analyse probabilistique afin de résoudre des problèmes clefs dans le domaine des réseaux complexes et Big Data. Le premier problème qu’on considère est de détecter un sous graphe Erdős–Rényi G(m,p) plante dans un graphe Erdős–Rényi G(n,q). Nous dérivons les distributions d’une statistique basée sur les propriétés spectrales d’une matrice définie du graphe. Ensuite, nous considérons le problème de la récupération des sommets du sous graphe en présence de l’information supplémentaire. Pour cela nous utilisons l’algorithme «Belief Propagation». Le BP sans informations supplémentaires ne réussit à la récupération qu’avec un SNR effectif lambda au-delà d’un seuil. Nous prouvons qu’en présence des informations supplémentaires, ce seuil disparaît et le BP réussi pour n’importe quel lambda. Finalement, nous dérivons des expressions asymptotiques pour PageRank sur une classe de graphes aléatoires non dirigés appelés « fast expanders », en utilisant des techniques théoriques à la matrice aléatoire. Nous montrons que PageRank peut être approché pour les grandes tailles du graphe comme une combinaison convexe du vecteur de dégré normalisé et le vecteur de personnalisation du PageRank, lorsque le vecteur de personnalisation est suffisamment délocalisé. Par la suite, nous caractérisons les formes asymptotiques de PageRank sur le Stochastic Block Model (SBM) et montrons qu’il contient un terme de correction qui est fonction de la structure de la communauté.