Groupes projectifs et arrangements de droites

Projective groups and line arrangements

• Auteur / Autrice : Zhenjian Wang
• Direction : Alexandru Dimca, Sorin Dumitrescu
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Soutenance le 19/06/2017
• Etablissement(s) : Université Côte d'Azur (ComUE)
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Sciences fondamentales et appliquées (Nice ; 2000-....)
• Partenaire(s) de recherche : établissement de préparation : Université de Nice (1965-2019)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Laboratoire J.-A. Dieudonné (Nice) - Laboratoire Jean Alexandre Dieudonné
• Jury : Président / Présidente : Vincent Koziarz
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Alexandru Dimca, Sorin Dumitrescu, Vincent Koziarz, Nero Budur, Xavier Roulleau
• Jury : Rapporteur / Rapporteuse : Nero Budur, Xavier Roulleau

Mots clés

Mots clés contrôlés

Variétés (mathématiques)

Groupes fondamentaux (mathématiques)

Hodge, Théorie de

Espaces fibrés (mathématiques)

Espaces projectifs

Mots clés libres

Arrangements de droites

Fibre de Milnor

Théorie de Hodge

Groupe fondamental

Variété caractéristique

1-formalité

Surfaces projectives de type général

Line arrangements

Milnor fiber

Hodge theory

Fundamental group

Cohomology jump loci

1-formal

Projective surfaces of general type

Résumé

Le but de cette thèse est de considérer différentes questions sur les groupes projectifs et sur les arrangements de droites dans le plan projectif. Un groupe projectif est un groupe qui est isomorphe au groupe fondamental d'une variété projective lisse complexe. Pour étudier les groupes projectifs, des techniques sophistiquées de topologie algébrique et de géométrie algébrique ont été développées pendant les dernières décennies, par exemple la théorie des variétés caractéristiques combinée avec la théorie de Hodge s'est montrée être un outil puissant. Les arrangements de droites dans le plan projectif ont une place centrale dans l'étude des groupes projectifs. En effet, il y a beaucoup de questions ouvertes sur les groupes projectifs, et la théorie des arrangements d'hyperplans, en particulier celle des arrangements de droites, qui est un domaine très actif de recherche, peut suggérer des solutions à ces problèmes. En outre, les problèmes sur les groupes fondamentaux de complémentaires des arrangements d'hyperplans peuvent être réduits au cas des arrangements de droites, en utilisant le bien connu Théorème de Zariski du type de Lefschetz. Assez souvent, pour étudier les groupes projectifs ou quasi-projectifs, on considère d'abord les arrangements de droites pour obtenir des idées intuitives. Dans cette thèse nous obtenons aussi des résultats d'intérêts indépendants, par exemple sur les morphismes définis sur un produit d'espaces projectifs dans le Chapitre 4, sur la fibre générale de certains morphismes dans le Chapitre 5 et les critères sur les surfaces de type générales au Chapitre 7.

The objective of this thesis is to investigate various questions about projective groups and line arrangements in the projective plane. A projective group is a group which is isomorphic to the fundamental group of a smooth complex projective variety. To study projective groups, sophisticated techniques in algebraic topology and algebraic geometry have been developed in the passed decades, for instance, the theory of cohomology jump loci, together with Hodge theory, has been proven a powerful tool. Line arrangements in the projective plane are of special interest in the study of projective groups. Indeed, there are many open questions related to projective groups, and the theory of hyperplane arrangements, and in particular that of line arrangements, which is quite an active area of research, may provide insights for these problems. Furthermore, problems concerning the fundamental groups of the complements of hyperplane arrangements can be reduced to the case of line arrangements, due to the celebrated Zariski theorem of Lefschetz type. Very often, in the study of projective groups or quasi-projective groups, one usually considers line arrangements first to get some intuitive ideas. In this thesis, we also prove some theorems that are of independent interest and can be used elsewhere, for instance, we prove properties concerning morphisms from products of projective spaces in Chapter 4, we show that some morphisms have generic connected fibers in Chapter 5 and we give criteria for a projective surface to be of general type in Chapter 7.