Processus d'exploration des arbres aléatoires en temps continu à branchement non binaire : limite en grande population

Convergence of the exploration process of the non-binary tree associated to a continuous time branching process, in the limit of a large population

• Auteur / Autrice : Ibrahima Dramé
• Direction : Etienne Pardoux, Ahmadou Bamba Sow
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques et informatique. Mathématiques
• Date : Soutenance le 22/05/2017
• Etablissement(s) : Aix-Marseille
• Ecole(s) doctorale(s) : Ecole doctorale Mathématiques et Informatique de Marseille (Marseille ; 1994-....)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Institut de mathématiques de Marseille (I2M)
• Jury : Président / Présidente : Romain Abraham
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Anton Wakolbinger
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Vincent Bansaye, Thomas Duquesne

Mots clés

Mots clés contrôlés

Arbres de décision

Forêts d'arbres de décision

Simulation, Méthodes de

Modèles mathématiques

Mots clés libres

Processus de branchement

Processus d'exploration

Temps local

Convergence

Branching process

Exploration process

Local time

Convergence

Résumé

Dans cette thèse, on étudie la convergence du processus d'exploration de l'arbre généalogique d'un processus de branchement en temps continu non binaire, dans la limite d'une grande population. Dans la première partie, nous donnons une description précise du processus d'exploration de l'arbre non binaire. Ensuite nous décrivons une certaine bijection entre l'ensemble des processus d'exploration et l'ensemble des arbres non binaires. Après renormalisation des paramètres, nous présentons les résultats de convergence du processus de population et du processus d'exploration dans la limite d'une grande population. Dans la deuxième partie, nous établissons d'abord la convergence du processus de population vers un processus de branchement à espace d'état continu avec sauts. Puis, nous montrons la convergence du processus d'exploration normalisé de l'arbre généalogique correspondant vers le processus de hauteur continu défini récemment par Li, Pardoux et Wakolbinger.Dans la dernière partie, on définit un modèle discret de population avec interaction définie par une fonction générale non linéaire f. On fait une renormalisation adéquate du modèle discret pour obtenir en limite un processus de branchement à espace d'état continu généralisé. Ensuite nous renormalisons le processus d'exploration de l'arbre généalogique associé et nous prenons la limite quand la taille de la population tend vers l'infini.

In this thesis, we study the convergence of the exploration process of the non-binary tree associated to a continuous time branching process, in the limit of a large population. In the first part, we give a precise description of the exploration process of the non-binary tree. We then describe a bijection between exploration processes and Galton Watson non-binary trees. After some renormalization, we present the results of convergence of the population process and the exploration process, in the limit of a large populations.In the second part, we first establish the convergence of the population process to a continuous state branching process (CSBP) with jumps. We then show the convergence of the (rescaled) exploration process, of the corresponding genealogical tree towards the continuous height process recently defined by Li, Pardoux and Wakolbinger. In the last part, we consider a population model with interaction defined with a more general non linear function f. We proceed to a renormalization of the parameters model and we obtain in limit a generalized CSBP. We then renormalize the height process of the associated genealogical tree, and take the weak limit as the size of the population tends to infinity.